Aloha :)
Den Eigenwert \(\lambda\) bestimmst du durch Lösen der charakteristischen Gleichung:$$\text{det}(A-\lambda E)=0$$Hier ist der Eigenwert \(\lambda=2\) bekannt, sodass \(\text{det}(A-2 E)=0\) ist. Daher gilt:$$(A-2E)^0=E\quad;\quad(A-2E)^1=A-2E\quad;\quad(A-2E)^n=0\;\;\text{für}\;\;n\ge2$$$$e^{A-2E}=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}(A-2\cdot E)^n=E+(A-2E)=A-E$$Da die Einheitsmatrix \(E\) mit jeder gleich großen quadratischen Matrix \(A\) vertauscht, d.h. \(AE=EA\), gilt weiter:$$e^A=e^{A-2E+2E}=e^{A-2E}\cdot e^{2E}=(A-E)\cdot e^{2E}=(A-E)\cdot e^E\cdot e^E$$Es fehlt noch das Matrixexponenital der Einheitsmatrix:$$e^{E}=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}E^n=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}\left(\begin{array}{c}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}\left(\begin{array}{c}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right)=e\,\left(\begin{array}{c}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right)=e\,E$$Jetzt haben wir alles:$$e^A=(A-E)\cdot e\,E\cdot e\,E=e^2(A-E)=e^2\left[\left(\begin{array}{c}3 & -1\\1 & 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right)\right]$$$$\phantom{e^A}=e^2\left(\begin{array}{c}2 & -1\\1 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2e^2 & -e^2\\e^2 & 0\end{array}\right)$$
