Bestimmen der Koordinaten wo y' nicht existiert

Question

Aufgabe:

Die Funktion y(x) besteht aus drei Funktionszweigen, deren Funktionsgraphen zusammengesetzt eine Kurve in der x,y-Ebene ergeben, und ist implizit durch die Gleichung  x³ − 3xy + y³ − 1 = 0 gegeben.

Zu Bestimmen:

- Die Ableitung y' = dy/dx durch impliziertes Differenzieren

- Die drei y-Werte wo x = 1 und die Ableitung y' in den drei Punkten mit den Koordinaten (1, y_i)

- Die Koordinaten der zwei Punkte P₁ und P₂ auf der Kurve, wo y' nicht existiert (unendlich groß wird).

Problem/Ansatz:

y' mit dem Hauptsatz für implizite Funktionen y'(x) = - \( \frac{Fx(x, y(x))}{Fy(x, y(x))} \) zu bestimmen und die y-Werte zu berechnen durch umformen der Gleichung und dann einsetzen in y' war kein Problem.

Ich komme jetzt aber bei dem bestimmen der Koordinaten für P₁ und P₂ nicht weiter. Soweit ich weiß existiert y' nicht an Stellen wo die Funktion nicht stetig ist, daher an den Übergängen der Funktionszweige. Eine Funktion ist an einem Punkt stetig wenn \( \lim\limits_{x\to{x0}} f(x) \) existiert, aber wie berechne ich da jetzt die Koordinaten für so einen Punkt?

Answer 1

Aloha :)

a) Ableitung bestimmen$$F(x,y)=x^3-3xy+y^3-1=0$$Weil die Funktion \(F\) identisch \(0\) ist, gilt das auch für ihr Differential:$$0=dF=\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy=(3x^2-3y)dx+(-3x+3y^2)dy$$$$\Rightarrow\quad(-3x+3y^2)dy=-(3x^2-3y)dx$$$$\Rightarrow\quad y'(x)=\frac{dy}{dx}=-\frac{3x^2-3y}{-3x+3y^2}=\frac{y-x^2}{y^2-x}$$

b) Drei Punkte mit \(x=1\) bestimmen$$0=F(1,y)=1-3y+y^3-1=-3y+y^3=y(y^2-3)=y(y-\sqrt3)(y+\sqrt3)$$Damit lauten die 3 gesuchten Punkte:$$X_1(1\,|\,-\sqrt3)\quad;\quad X_2(1\,|\,0)\quad;\quad X_3(1\,|\,\sqrt3)$$Die Ableitung in diesen Punkten ist:$$y_1'(1)=-\frac{\sqrt3+1}{2}\quad;\quad y_2'(1)=\frac{0-1^2}{0^2-1}=1\quad;\quad y_3'(1)=\frac{\sqrt3-1}{2}$$

c) Zwei Punkte, wo die \(y'(x)\) nicht exisitert

Der Nenner von \(y'(x)\) wird \(=0\), falls \(x=y^2\) gilt.$$0=F(x,y)=F(y^2,y)=(y^2)^3-3(y^2)y+y^3-1=y^6-2y^3-1$$$$1=y^6-2y^3=\left((y^3)^2-2(y^3)+1\right)-1=\left(y^3-1\right)^2-1$$$$\left(y^3-1\right)^2=2$$$$y^3=1\pm\sqrt2$$$$y=\sqrt[3]{1\pm\sqrt2}$$$$x=y^2=\left(1\pm\sqrt2\right)^{2/3}$$Das liefert uns die beiden gesuchten Punkte:$$P_1\left(\left(1-\sqrt2\right)^{2/3}\,|\,\left(1-\sqrt2\right)^{1/3}\right)\quad;\quad P_2\left(\left(1+\sqrt2\right)^{2/3}\,|\,\left(1+\sqrt2\right)^{1/3}\right)$$oder ausgerechnet:$$P_1\left(0,555669\,|\,-0,745432\right)\quad;\quad P_2\left(1,799632\,|\,1,341504\right)$$

Comments

Morgen :)

Vielen Dank für die Ausführliche Antwort! Ich verstehe jetzt alle Schritte :)