Wie ist X verteilt? Geben Sie die Verteilung an

Question

Frage:

Lili hat neulich in der Zeitung gelesen, dass die Wahlbeteiligung in ihrem Wohnort bei 45% lag. Lili nimmt also an, dass jeder wahlberechtigte/r Einwohner/in an der Wahl unabhängig von den anderen mit einer Whk. von p=0,45 teilgenommen hat.

Betrachten Sie nun zuerst 10 zufällig ausgewählte Wahlberechtigte Einwohner/innen. Sei X ∈ {0,1,3,...,10} die Anzahl unter diesen Einwohner/innen, die an der Wahl teilgenommen haben.

a) Wie groß ist X verteilt? Geben Sie die Verteilung an

b) Wie groß ist die Whk., dass keiner der 10 Einwohner/innen an der Wahl teilgenommen hat?

c) Wie groß ist die Whk., dass mind. 2 der Befragten Wählen waren.

Problem/Ansatz:

a) X ~ B(n,p) ; X ~ B(10 ; 0,45)

b) P(x=0) = (10 über 0)*0,45^0*(1-0,45)^10= 0,00253 -> 0,253%

c) ?

Wie erkenne ich daran das es Binominalverteilt ist?

Wenn ich p=0,45 habe, müsste ich nicht 1-0,45 rechnen? Falls nicht, wann müsste ich mit 1- rechnen?

Kann einer mir bitte die Aufgabe c) erläutern?

Answer 1

Wie erkenne ich daran das es Binominalverteilt ist?

Lili nimmt also an, dass jeder wahlberechtigte/r Einwohner/in an der Wahl unabhängig von den anderen mit einer Whk. von p=0,45 teilgenommen hat.

b) Wie groß ist die Whk., dass keiner der 10 Einwohner/innen an der Wahl teilgenommen hat?

P(X = 0) = (10 über 0)·0.45^0·0.55^10 = 0.55^10 = 0.0025

c) Wie groß ist die Whk., dass mind. 2 der Befragten Wählen waren.

P(X = 1) = (10 über 1)·0.45^1·0.55^9 = 0.0207

P(X ≥ 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) = 1 - 0.0025 - 0.0207 = 0.9768

Comments

Danke für die ausführliche Antwort.

Wie erkenne ich genau daran das es Binominalverteilt ist? Und wenn ich p=0,45 habe, müsste ich nicht 1-0,45 rechnen für p? Falls nicht, wann müsste ich mit 1- rechnen?

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Wie erkenne ich genau daran das es Binominalverteilt ist?

Für eine Binomialverteilung müssen folgende Dinge gegeben sein:

1. Es handelt sich um eine Kette von Bernoulli-Experimenten. Also ein Experiment wo uns genau 2 Ausgänge interessieren. Z.B. hier Person hat/hat_nicht gewählt.

2. Die Wahrscheinlichkeit das eine Person gewählt hat ist immer konstant und unabhängig voneinander.

Beide Dinge kannst du aus der Aufgabe herauslesen.

Und wenn ich p=0,45 habe, müsste ich nicht 1-0,45 rechnen für p? Falls nicht, wann müsste ich mit 1- rechnen?

Die Gegenwahrscheinlichkeit 1 - 0.45 = 0.55 tritt in der Grundformel der Binomialverteilung immer auf. Du siehst auch das ich damit gerechnet habe. Du kannst sie aber z.B. bei 0.55^0 = 1 weglassen. Oben staht dort allerdings 0.45^0 und damit rechnet man hier eigentlich mit der Gegenwahrscheinlichkeit.

Answer 2

zu a)P(X)=\( \begin{pmatrix} 10\\X \end{pmatrix} \)·0,45^X·0,55^10-X

X              P(X)
0    0.002532951621
1    0.02072414962
2    0.07630255090
3    0.1664782928
4    0.2383666466
5    0.2340327075
6    0.1595677551
7    0.07460310631
8    0.02288958943
9    0.004161743534
10  0.0003405062891

Answer 3

Die WKT ist für jeden Einwohner dieselbe und ändert sich bei der Befragung nicht.

Wie beim Würfeln: Die WKT für eine 6  ist bei jedem Wurf 1/6.

c) P(X>=2) = 1-P(X<=1) = 1-P(X=0)-P(X=1)

Die GegenWKT ist "höchstens einer"