Diskrete Verteilung - Tierarten

Question

H 2 Diskrete Verteilung
Eine Tierart bekommt zufällig zwischen 1 und 6 Nachkommen pro Jahr. Die zufällige Nachkommenzahl sei \( X \), beschrieben durch die folgende Funktion,

Text erkannt:

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline\( x \) & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline\( f(x) \) & \( 0.1 \) & \( 0.1 \) & \( 0.1 \) & \( 0.2 \) & \( 0.2 \) & \( 0.3 \) \\
\hline
\end{tabular}

wobei \( f(x)=0 \) für alle \( x \in \mathbb{R} \backslash\{1,2,3,4,5,6\} \).
(A) Begründen Sie, dass \( f \) eine Wahrscheinlichkeitsfunktion ist, d.h. \( f(x) \geq 0 \) für alle \( x \in \mathbb{R} \) und \( \sum \limits_{x \in \mathbb{R}} f(x)=1 \).
(B) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion \( F \) von \( X \).
(C) Bestimmen Sie die Quantilfunktion \( F^{-1} \) von \( X \) für \( p \in(0,0.7] \).
(D) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit von folgenden Ereignissen:
- Die Anzahl an Nachkommen ist ungleich \( 6 . \)
- Die Nachkommenanzahl ist größer als 3 .
(E) Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz von \( X \).

Answer 1

Wo liegen die konkreten Probleme

a)

Das alle Wahrscheinlichkeiten >= 0 sind ist offensichtlich.

Das die Summe der Wahrscheinlichkeiten 3·0.1 + 2·0.2 + 0.3 = 1 ist kann man leicht nachrechnen.

Comments

Was ist jetzt die Verteilungsfunktion?

Etwa

F(x)=

0,1 für x=1

0,1 für x=2

0,1 für x=3

0,2 für x=4

0,2 für x=5

0,3 für x=6

?

---

Natürlich nicht. Aber das würdest du vermutlich schnell bemerken, wenn du nur einmal nach Verteilungsfunktion gesucht hättest

https://www.google.de/search?q=verteilungsfunktion

---

Wie bestimme ich sie dann?

---

Hast du

https://studyflix.de/statistik/diskrete-dichte-und-verteilungsfunktion-1115

nicht angesehen oder nicht verstanden. Wenn du es nicht verstanden hast dann erkläre genau was du nicht verstanden hast.

---

Ich muss alle Wahrscheinlichkeiten addieren und daraus das Integral bilden bzw. aufleiten?

---

Integrieren läuft für stetige Funktionen. Du hast hier eine disketre Funktion. Dort brauchst du nur die Werte aufaddieren

F(x)=
0,1 für x=1
0,2 für x=2
0,3 für x=3
0,5 für x=4
0,7 für x=5
1,0 für x=6

---

Ahja, vielen dank!

Ich erinnere mich wieder.

Die Quantilfunktion ist ja die Umkehrfunktion von F(x). Wie berechne ich die jetzt?

Normalerweise muss man bei der Umkehrfunktion die Funktion nach x auflösen und dann x und y tauschen. Das geht jetzt ja hier nicht…

---

Ich bräuchte nur noch bei Aufgabe C und D Hilfe.

Bei D wäre dann ja P≠6?

Und P > 3?

---

Bei D wäre dann ja P≠6? Und P > 3?

Richtig. Kannst du dann auch die WK bestimmen?

Die Quantilfunktion ist ja die Umkehrfunktion von F(x). Wie berechne ich die jetzt?

Weißt du das die Umkehrfunktion einfach nur die x und y-Koordinaten der Zuordnung vertauscht?

---

P≠6 wäre die Wahrscheinlichkeit

0,1+0,1+0,1+0,2+0,2=0,7

Heißt zu 70% ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Nachkommen ungleich 6 ist?

Und für P>3 dann

0,2+0,2+0,3=0,7

Also auch zu 70%, dass die Nachkommenanzahl grösser als 3 ist?

Und bei C dann

F^-1(x)=
0,1 für y=1
0,2 für y=2
0,3 für y=3
0,5 für y=4
0,7 für y=5

Die 1,0 für y=6 würde ich weglassen, da nur von 0-0,7 gefordert war?

---

D ist richtig.

C würde ich so machen.

F^{-1}(x)=
1 für x ≤ 0,1
2 für x ≤ 0,2
3 für x ≤ 0,3
4 für x ≤ 0,5
5 für x ≤ 0,7
6 für x ≤ 1,0