Question

Untersuchen Sie den folgenden Reihenwert hinsichtlich ihrer Existenz.

\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{ke^{-k^{2}}} \)

Answer 1

Aloha :)

Mit dem Quotientenkriterium für \(a_k=ke^{-k^2}\) gilt:$$\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{(k+1)e^{-(k+1)^2}}{ke^{-k^2}}=\frac{k+1}{k}\cdot\frac{e^{-k^2-2k-1}}{e^{-k^2}}=\left(1+\frac1k\right)\cdot\frac{1}{e^{2k+1}}\to1\cdot0=0<1$$Die Reihe konvergiert.