Zeigen oder widerlegen Sie die Aussagen

Question

Wahr oder falsch?

Zeigen oder widerlegen Sie folgende Aussagen.
(i) Es existiert ein Wahrscheinlichkeitsraum \( (\Omega, \mathcal{A}, P) \) mit \( |\mathcal{A}|=2048 \).
(ii) Es existiert ein Wahrscheinlichkeitsraum \( (\Omega, \mathcal{A}, P) \) mit \( |\mathcal{A}|=2021 \).
(iii) Seien \( P_{1}, P_{2} \) Wahrscheinlichkeitsmaße auf \( (\Omega, \mathcal{A}) \) und \( \alpha \in[0,1] \). Dann ist \( \alpha P_{1}+(1-\alpha) P_{2} \) ebenfalls ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf \( (\Omega, \mathcal{A}) \).
(iv) Sei \( (\Omega, \mathcal{A}, P) \) ein Wahrscheinlichkeitsraum und seien \( A, B \in \mathcal{A} \). Dann gilt
\( P(A)+P(A \cup B) \geq P(B)+P(A \cap B) . \)

Answer 1

(i) Gib passende \(\Omega\) und \(\mathcal{A}\) an.

(ii) Begründe warum eine \(\sigma\)-Algebra keine ungerade Anzahl von Elementen enthalten kann.

(iii) Überprüfe ob die Kolmogorov-Axiome erfüllt sind.

(iv) Verwende \(P(R\cap S)\leq P(R) \leq P(R\cup S)\).

Comments

(i) Soll ich mir da einfach Zahlen ausdenken und so überprüfen, ob die Aussage stimmt?

(iv) Hier für R und S Mengen angeben und somit es überprüfen?

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(i) Nein, du sollst dir keine Zahlen ausdenken. \(\Omega\) und \(\mathcal{A}\) sind Mengen. Du sollst dir Mengen ausdenken.

(iv) Wenn du in \(P(R\cap S)\leq P(R) \leq P(R\cup S)\) das \(R\) durch \(B\) ersetzt und das \(S\) durch \(A\) ersetzt, dann bekommst du

(*)        \(P(B\cap A)\leq P(B) \leq P(B\cup A)\).

Die zwei Ungleichungen von (*) kannst du verwenden um \( P(A)+P(A \cup B)\) zu verkleinern und \(P(B)+P(A \cap B)\) zu vergrößern.