kann die Lösung nachvollziehen aber weiß nicht, wie man direkt darauf kommen soll. Zeilenstufenform geht hier ja nicht, weil die zugehörige Matrix ja nicht quadratisch ist.
Aufgabe
Man konstruiere eine Basis für den von
$$ v_{1}=(1,-2,0,1), v_{2}=(0,0,2,5), \quad v_{3}=(-2,4,2,3) $$
erzeugten Untervektorraum von \( \mathbb{R}^{4} \) und ergänze diese Basis dann zu einer Basis von \( \mathbb{R}^{4} \).
Lösung:
Da \( v_{3}=-2 \cdot v_{1}+v_{2}, \) ist \( \left\{v_{1}, v_{2}\right\} \) eine Basis des Unterraums. Sei \( x=\left(\begin{array}{l}a \\ b \\ c \\ d\end{array}\right) \) Element des Unterraums. Dann gilt \( b+2 \cdot a=0 . \) Also sind
$$ \left(\begin{array}{llll} 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{llll} 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right) $$
mit den obigen Vektoren eine Basis für \( \mathbb{R}^{4} \)
mfg
pizzaboss