Woran sieht man, dass der eine Vektor ein Vielfaches des anderen ist?

Question

kann die Lösung nachvollziehen aber weiß nicht, wie man direkt darauf kommen soll. Zeilenstufenform geht hier ja nicht, weil die zugehörige Matrix ja nicht quadratisch ist.

Aufgabe

Man konstruiere eine Basis für den von
$$ v_{1}=(1,-2,0,1), v_{2}=(0,0,2,5), \quad v_{3}=(-2,4,2,3) $$
erzeugten Untervektorraum von \( \mathbb{R}^{4} \) und ergänze diese Basis dann zu einer Basis von \( \mathbb{R}^{4} \).

Lösung:

Da \( v_{3}=-2 \cdot v_{1}+v_{2}, \) ist \( \left\{v_{1}, v_{2}\right\} \) eine Basis des Unterraums. Sei \( x=\left(\begin{array}{l}a \\ b \\ c \\ d\end{array}\right) \) Element des Unterraums. Dann gilt \( b+2 \cdot a=0 . \) Also sind
$$ \left(\begin{array}{llll} 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{llll} 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right) $$
mit den obigen Vektoren eine Basis für \( \mathbb{R}^{4} \)

 mfg

pizzaboss

Answer 1

Zeilenstufenform geht hier ja nicht, weil die zugehörige Matrix ja nicht quadratisch ist.

Doch (Damit kommt man ja auf v3 = -2v1 + v2 .)  etwa so

1    0   -2
-2  0    4    + 2* 1. Zeile
0    2    2 
1    5    3    - 1. Zeile

1    0   -2
0    0     0
0    2    2
0    5    5     - 2,5*  3.Zeile

1    0   -2
0    0     0
0    2    2
0    0     0

Also hat das System x1*v1+x2*v2+x3*v3=0

Lösungen mit frei wählbarem x2 und

          2x2+2x3=0 also  x2=-x3

und  x1-2x3=0  also   x1=2x3

somit z.B. die Lösung   x3=1 x2=-1 x1=2

also 2v1 - v2 + v3 = 0

==>  v3 = -2v2 - 2v1

So hat der Aufgabenlöser das vielleicht auch gemacht oder

er konnte gut im Kopf rechnen. Das ist aber zum

Erlernen von Mathematik m.E. keine

Voraussetzung.

Comments

Das ist wahrscheinlich eine dumme Frage, aber wie kommt man auf das System x1*v1+x2*v2+x3*v3=0?

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Das ist ja der übliche Ansatz zur Überprüfung auf lin. Unabhängigkeit.

Und wenn die Erzeugenden eines Unterraumes lin. unabhängig sind

(Was hier nicht der Fall ist.) dann wäre es ja eine Basis.

Wenn sie lin. abh. sind (wie hier) liefert die Zeiolenstufenform

eine Information darüber, welche der Erzeugenden man weglassen kann,

um das System zu einer Basis zu reduzieren.

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vielen Dank. Hätte ich auch den Ansatz mit der Ergänzung einer Nullzeile nehmen dürfen, sodass ich dann die Vektoren rauspicken würde, die von den Pivotelementen angegeben werden?

Das wären dann bei mir v1=(1,−2,0,1) und v2=(0,0,2,5)?

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Habs schon, war zu voreilig. Trozdem nochmal danke

Answer 2

Hallo

keiner der Vektoren ist Vielfaches eines der anderen.

 du kannst auch 3 Vektoren beliebiger länge als Matrix schreiben (wenn du unbedingt eine n mal n haben willst ergänze eben 0 Zeilen.) dann wie üblich auf den Anfang einer Dreiecks um formen, wenn ein 0 Zeile entsteht hast du die lineare Ab. der dritten Zeile von den anderen.

hier sieht man aber direkt: wenn Lin abhängig. muss v1 mit -2 multiplizieren werden, anders kann man die -2 in v3 nich erzeugen, und dann versucht man ein vielfaches (oder einfaches) von v2 zu addieren.

Gruß lul