Aufgabe:
Der Graph ist zur y-Achse symmetrisch, hat einen Tiefpunkt auf der x-Achse und an der Stelle x=1 einen Wendepunkt.
Problem/Ansatz:
Wie lauten die Lösungsgleichungen dafür?
Hallo Josefine
Sollte
exakt stimmen, musst du mehrere Lösungen angeben. Daher der Parameter a in der Antwort. Nun aber: Sollte nirgends etwas zum Grad der gesuchten Polynome stehen, gibt es sehr viel mehr "Lösungsgleichen". Willst du die Frage nochmals präzisieren?
@TR: Ich verstehe das so, dass der Frager die Bedingungsgleichungen, die zu der oder den Lösungen führen, sucht.
Danke für die Erklärung.
Nun weiss auch Josefine, welche Fragestellung ihr beantworten wolltet.
Warum unterschlägst du Lösungen von höherem Grad?
Die beiden Informationen "Symmetrie zur y-Achse" und "Wendepunkt vorhanden" führt auf den Ansatz $$f(x)=ax^4+cx^2+e$$Da es nur einen Tiefpunkt geben soll und dieser zudem auf der x-Achse liegen soll, muss dieser Tiefpunkt wegen der Achsensymmetrie im Ursprung \((0\vert 0)\) liegen. Daher kann der Ansatz zu $$f(x)=ax^4+cx^2$$ mit \(a<0\) vereinfacht werden. Dieser muss den Bedingung$$f''(1)=0$$ genügen.
Tiefpunkt auf der x-Achse bedeutet, es existiert ein doppelte Nullstelle. Ansatz:
f(x)=x·(ax-b)2
f ''(x)=2a·(3ax-2b)
Wegen WP bei x=1 folgt 0=2a·(3a-2b).
Dann ist entweder a=0 (entfällt) oder 3a-2b=0 und b=3/2a
fa(x)=x(ax -3/2a)2.
@Roland
Dein Vorschlag ist nicht achsensymmetrisch.
Ja danke, das hatte ich nicht bedacht.
Symmetrie → Nur gerade Exponenten von x, z.B. \(f(x)=ax^6+bx^4+cx^2+d\). Ob der Grad 6 oder 4 ist, hängt von der Anzahl der Bedingungen ab.
Tiefpunkt auf der x-Achse → \(f(x_0)=0 ; f'(x_0)=0 ; f''(x_0)<0\)
Wendepunkt bei x=1 → \(f''(1)=0=30a+12b+2c\)
Eine Möglichkeit wäre \(f\left(x\right)=-0.5x^{4}+3x^{2}\)
https://www.desmos.com/calculator/a82uvq9qvb
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