Steckbriefaufgabe. Ganzrationale Funktion vierten Grades, deren Graph symmetrisch zur y-Achse ist, mit T(2/-14).

Question

3x3 Gleichungssystem lösen

Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades, deren Graph symmetrisch zur y-Achse ist, in T(2/-14) einen Tiefpunkt hat und durch den Punkt A(1/-5) verläuft.

Wie finde ich die anderen Punkte raus?

ich weiß, dass ich wegen dem TP noch f'(2)=0 machen kann.

Aber wie geht es weiter?

Answer 1

Ansatz  f(x) = ax^4 + bx^2 + c   wegen Symmetrie !

f(2) = -14

f ' ( 2 ) = 0 wegen Extrempunkt

f ( 1) = -5 

Damit a,b,c ausrechnen.

Answer 2

Ansatz aufgrund der Symmetrie ist

f(x) = ax^4 + bx^2 + c

(I)   -14 = a*2^4 + b*2^2 + c       | Wegen Punkt T.

(II)   -5 = a*1^4 + b*1^2 + c        | Wegen Punkt A

f ' (x) = 4ax^3 + 2bx

(III)  0 = 4a*2^3 + 2b*2   | hast du erwähnt

Nun die Gleichungen erst mal etwas vereinfachen. usw.

Answer 3

"Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades, deren Graph symmetrisch zur y-Achse T(2|-14) einen Tiefpunkt hat und durch den Punkt A(1|-5) verläuft."

Ich verschiebe den Graphen von f(x) um 14 Einheiten nach oben:

\(T(2|-14)→T´(2|0)\) doppelte Nullstelle

\(f(x)=a*(x-2)^2*(x+2)^2\) wegen Symmetrie zur y-Achse

\(A(1|-5)→A´(1|9)\)

\(f(1)=a*(1-2)^2*(1+2)^2=9a\)

\(9a=9→a=1\)

\(f(x)=(x-2)^2*(x+2)^2\)

Nun wieder 14 Einheiten nach unten:

\(p(x)=(x-2)^2*(x+2)^2-14\)