Aufgabe:
Die Funktion f mit f(x)= (x² - 5x) * e^1/3x beschreibt für x∈ [0;5] den Querschnitt eines Grabens, der bis zur x-Achse gefüllt ist. (Eine LE entspricht 1m).
b) Berechnen Sie die steilste Stelle des Grabens.
d) Berechnen Sie die durchschnittliche Tiefe des Grabens.
Problem/Ansatz:
Mein Ansatz zu b) war die Wendestellen zu berechnen. Das ist dann bei x= 3,5 und x= 13,4. Wenn das Intervall aber von [0;5] geht, heißt dass dann das die steilste Stelle bei x= 3,5 liegt?
\( \begin{aligned} f(x)=&\left(x^{2}-5 x\right) \cdot e^{-\frac{1}{3} x} \\ \begin{aligned} f^{\prime}(x) &=(2 x-5) e^{-\frac{1}{3} x}+\left(x^{2}-5 x \cdot e^{-\frac{1}{3} x}\right) \cdot\left(-\frac{1}{3}\right) \\ &=e^{-\frac{1}{3} x}(2 x-5)+\left(x^{2}-5 x\right) \left(-\frac{1}{3}\right) \\ &=e^{-\frac{1}{3} x}(2 x-5)+\left(-\frac{1}{3} x^{2}+\frac{5}{3} x\right) \\ &=e^{-\frac{1}{3} x}\left(\frac{11}{3} x-5-\frac{1}{3} x^{2}\right) \end{aligned} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} f^{\prime \prime}(x) &=e^{-\frac{1}{3} x}\left(\frac{11}{3}-\frac{2}{3} x\right)+e^{-\frac{1}{3} x}\left(\frac{11}{3 x}-5-\frac{1}{3 x^{2}}\right) \cdot\left(-\frac{1}{3}\right) \\ &=e^{-\frac{1}{2} x}\left(\frac{11}{3}-\frac{2}{3} x\right)+\left(\frac{11}{3 x}-5-\frac{1}{3 }x^{2}\right)\left(-\frac{1}{3}\right) \\ &=e^{-\frac{1}{3}}\left(\frac{11}{3}-\frac{2}{3} x\right)+\left(-\frac{11}{9} x+\frac{5}{3}+\frac{1}{9} x^{2}\right) \\ &=e^{-\frac{1}{3}}\left(\frac{16}{3}+\frac{-17}{9} x+\frac{1}{9} x^{2}\right) \end{aligned} \)
Text erkannt:
\( f^{\prime \prime}(x)=0 \quad \begin{array}{l}x_1=3,575 \\ x_{2}=13,424\end{array} \)
Bei d) hatte ich überlegt das Intervall von 0 bis 5 zu berechnen. Ist das richtig?
Vielen lieben Dank schon einmal im Voraus!
