Lässt sich folgendes Integral mithilfe von partieller Integration lösen?

Question

Aufgabe:

Integriere die Funktion f(x)=sin(2x)*cos(1/2 x) mithilfe partieller Integration.

Problem/Ansatz:

Ich komme auf die Lösung der Aufgabe (-1/3 * cos(3/2 x) - 1/5  * cos(5/2 x) + C), indem ich eine Faktorregel für Sinus und Kosinus verwende (sin(a) * cos(b) = 1/2 * (sin(α−β) +sin(α+β)). Kann man auch ohne Verwendung dieser Regel, nur mithilfe von partieller Integration, dieses Integral lösen?

Answer 1

Ja, man kann. Die Aufgabenstellung

Integriere die Funktion f(x)=sin(2x)*cos(1/2 x) mithilfe partieller Integration.

legt dies übrigens nahe.

Möglicherweise muss man zweimal partiell integrieren.

Comments

Könntest du mir vielleicht zeigen, wie genau? Was ich nämlich komisch finde, in meiner Lösung steht in den Klammern des Kosinus etwas anderes, als das was in den Klammern von Sinus und Kosinus der Ursprungsfunktion steht. Beim partiell Integrieren ändert sich dies jedoch nie, da man ja nur Sinus und Kosinus ableitet und integriert, dabei verändern sich allerdings nie die Werte in den Klammern.

Also die Ableitung von sin(2x) ist 2 * cos(2x)  oder eine Stammfunktion von cos(1/2x) ist 2*sin(1/2x)... Man sieht, dass sich die Werte in den Klammern nicht ändern.. im Ergebnis jedoch stehen andere Werte in den Klammern vom Kosinus (3/2 x und 5/2 x). Wie ist das also möglich?

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\( \int sin(2x)*cos(0,5 x) dx \) 

partiell integrieren:

=sin(2x)*2sin(0,5 x) - \( \int 2cos(2x)*2sin(0,5 x) dx \)

hinteren Teil erneut partiell integrieren:

=sin(2x)*2sin(0,5 x) -( \(2cos(2x)*(-4cos(0,5 x)) - \int (-4sin(2x)*(-4 cos(0,5 x))dx \), also 

\( \int sin(2x)*cos(0,5 x) dx \)

=sin(2x)*2sin(0,5 x) -( \(2cos(2x)*(-4cos(0,5 x)) - \int (-4sin(2x)*(-4 cos(0,5 x))dx \)

Auf der linken Seite steht das gesuchte Integral, auf der rechten Seite ein Vielfaches dieses Integrals. Beides kannst du auf eine Seite bringen.