Lineare Gleichung - Textbsp.

Question

Aufgabe:

Welche Möglichkeiten gibt es

a) einen Betrag von 270€ mit 10€ und 20€-Scheinen zu bezahlen

b) einen Betrag von 280€ mit 20€ und 50-Scheinen zu bezahlen???

Stelle dazu eine lineare Gleichung mit geeignet gewählten Variablen auf und ermittle alle in Frage kommenden Lösungen!

Answer 1

a) x= Anzahl der 10€-Scheine; y= Anzahl der 20€-Scheine.

10x+20y=270 oder x=27-2y

Wegen x>0 muss auch 27-2y>0 sein.

Das geht für y=0 bis y=13.

Das sind 14 Möglichkeiten.

Comments

b) x= Anzahl der 20€-Scheine; y= Anzahl der 50€-Scheine.

20x+50y=270 oder 5y=28-2x oder y=\( \frac{2(14-x)}{5} \).

Da 2 nicht durch 5 teilbar ist,musss 14-x durch 5 teilbar sein. Das geht für x=4, x=9 oder x=14.

Answer 2

10x + 20y = 270
20y = 270 - 10x
2y = 27 - x
y = 13.5 - 0.5·x

Jetzt sieht man das für ganzzahlige Lösungen x wohl ungerade sein muss.

Mache eine Wertetabelle mit den Möglichen Lösungen

[x, y;
1, 13;
3, 12;
5, 11;
7, 10;
9, 9;
11, 8;
13, 7;
15, 6;
17, 5;
19, 4;
21, 3;
23, 2;
25, 1;
27, 0]

Die letzte Lösung (27, 0) müsste man vermutlich ausschließen, weil man ja dann keine 20 Euro Scheine benötigt.

Answer 3

b) einen Betrag von 280€ mit 20€ und 50-Scheinen zu bezahlen

z 20er und f 50er

20z+50f=280    |:10

2z+5f=28

z=(28-5f)/2

z=14 - 2,5f

f muss gerade sein: also f=0; 2; 4; 6.

f=0 → z=14

f=2 → z=14-5=9

f=4 → z=14-10=4

f=6 → z=14-15<0

Also 14 Zwanziger oder 2 Fünfziger und 9 Zwanziger oder 4 Fünfziger und 4 Zwanziger.