Aufgabe zu Funktionen mit zwei Variablen (Analysis 1)

Question

Hallo,

ich habe ein paar Fragen zu folgender Aufgabe:

Die Funktion $$f(a, b) = \sqrt{a^{2}+b^{2}}$$ wird betrachtet.

1) Zeichnen Sie den Graphen von $$f$$ im Bereich $$(a, b) \in \left[-4; 4\right] \text{x} \left[-4, 4\right]$$.

2) Geben Sie den Fachbegriff für diesen geometrischen Körper an und beweisen Sie, dass dieser Körper diesem geometrischen Körper entspricht!

Zum Einen möchte ich fragen, ob mir einer von euch kurz erklären könnte, wie ich eine solche Funktion am besten in ein dreidimensionales KOS einzeichne. Außerdem weiß ich nicht wirklich, welcher Körper dargestellt ist und wie ich diese Gegebenheit beweisen soll.

Könnte mir eventuell jemand weiterhelfen?

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Hallo Teez,

Zum Einen möchte ich fragen, ob mir einer von euch kurz erklären könnte, wie ich eine solche Funktion am besten in ein dreidimensionales KOS einzeichne.

setzte doch mal das \(a\) (oder das \(b\)) zu \(0\) und schaue Dir an, was dann passiert$$f(0,b) = \sqrt{0^2 + b^2} = |b|$$und da kommt nicht \(b\) heraus, sondern \(|b|\), da die Wurzelfunktion per Definition keine negativen Werte liefert. Und dies sind Geraden (genauer Halbgeraden), die man in ein Schrägbild einzeichnen kann. Weiter kann man sich überlegen, wie \(a\) und \(b\) beschaffen sein müssen, wenn das \(f\) konstant ist. Probiere es mal mit \(f(a,b)=1\)$$f(a,b) = \sqrt{a^2+ b ^2 } =1 \implies a^2 + b^2 = 1$$Das ist doch ein Kreis. Mit etwas Übung kann man die Kreise ebenso in das Schrägbild einzeichnen und bekommt

Klick auf das Bild und bewege die Szene mit der Maus. Spätestens dann solltest Du den Kegel sehen.

... und wie ich diese Gegebenheit beweisen soll.

man könnte zum Beispiel nachschauen, wie ein Kegel analytisch definiert ist - siehe z.B. bei Wikipedia.Ein auf der Spitze stehender Kegel in einem xyz-Koordinatensystem hat die Gleichung $$x^2 + y^2 = R^2z^2$$nach Wurzelziehen und tauschen der Variablen und Division durch \(R\) erhält man$$z = \frac 1R \sqrt{a^2 + b ^2}$$und dies ist ohne Zweifel für \(R=1\) die Ausgangsfunktion.

Comments

Vielen Dank für Ihre Antwort, Werner-Salomon!

Kann dieser Kegel auch als Rotationsparaboloid bezeichnet werden und ist damit quasi eine bestimmte Form eines solchen? Ich dachte, die Definition eines Rotationsparaboloid wäre eine Rotation einer Parabel, das ist hier ja nicht der Fall (Soweit ich weiß, entsteht ein Kegel ja durch die Rotation einer linearen Funktion(?))

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Kann dieser Kegel auch als Rotationsparaboloid bezeichnet werden ..

Nein - ein Rotationsparaboloid hätte die Funktion \(f(a,b)=a^2+b^2\) und ist etwas anderes. Z.B. eine Satellitenschüssel ist ein Teil eines Rotationsparaboloiden.

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Vielen Dank!

Answer 2

Das ist kein Rotationsparaboloid, sondern sieht so aus:

Comments

Vielen Dank für Ihre Antwort!