Winkel im Dreieck mithilfe von Vektoren berechnen

Question

Hallo :) geg ist das Dreieck PQR mit P (3|4) Q (6|3) und R(3|0); R= Spitze; Q=links; R=rechts
Ich sollte nun alle drei Winkel berechnen.
Da ich mich nun mit dem Thema Kosinusformel befasse, die lautet
cos γ = ( \( \vec{a} \) * \( \vec{b} \) ) / (| \( \vec{a} \) | * |\( \vec{b} \)  | )

habe ich versucht, die Aufgabe mithilfe d. Formel zu lösen.

also: a=RP; b=RQ; c=QR

Winkel zwischen a und b:

a= OP-OR= 0 -4

b= OQ - OR = 3 3

a^2= 16 => | a | = 4

b^2=18 => |a | = 9

a*b = 9 -4 * 3 3 = -12

nun in die Formel:

-12 / (4*9) = -1/3 => gamma = 109.5

Winkel zwischen b und c: b= 3 3; c= -3 -3; |b | = wurzel 32 |c|= wurzel 32 ; b*c= 18

in die Formel: 18/(wurzel 32 * wurzel 32) = 9/16 => alfa=55.8

Winkel zwischen a und c

a= 0 -4 c= -3 -3

|a|=4

|c|=wurzel 32

a*c=12

in die Formel: 12/(wurzel 32 * 4) = 3wurzel2/8 => beta = 57.9

da ein Dreieck nur 180 Grad haben kann, gehe ich davon aus, dass etwas nicht stimmt...

Kann sich jemand bitte meine Lösung angucken und den Fehler finden, bzw. mir helfen, die Aufgabe richtig zu lösen? :(

Answer 1

Aloha :)

Der Winkel bei \(P(3|4)\) sei \(\alpha\), der Winkel bei \(Q(6|3)\) sei \(\beta\) und der Winkel bei \(R(3|0)\) sei \(\gamma\). Die Seiten \(\vec a,\vec b,\vec c\) liegen den Winkeln \(\alpha,\beta,\gamma\) gegebüber, das heißt:$$\vec a=\overrightarrow{QR}=\vec r-\vec q=\binom{3}{0}-\binom{6}{3}=\binom{-3}{-3}$$$$\vec b=\overrightarrow{RP}=\vec p-\vec r=\binom{3}{4}-\binom{3}{0}=\binom{0}{4}$$$$\vec c=\overrightarrow{PQ}=\vec q-\vec p=\binom{6}{3}-\binom{3}{4}=\binom{3}{-1}$$Beim Berechnen der Winkel mit dem Skalarprodukt musst du nun darauf achten, dass beide Vektoren von dem Eckpunkt aus starten. Der Winkel \(\alpha\) liegt bei Punkt \(P\) zwischen den Seiten \(b\) und \(c\). Der Vektor \(\vec c\) startet am Punkt \(P\), aber der Vektor \(\vec b\) endet am Punkt \(P\). Also musst du den Vektor \(\vec b\) "umdrehen", indem du ihn negativ machst:

$$\cos\alpha=\cos\angle(-\vec b,\vec c)=\frac{\binom{0}{-4}\cdot\binom{3}{-1}}{\sqrt{(-4)^2}\sqrt{3^2+(-1)^2}}=\frac{4}{4\sqrt{10}}\;\;\Rightarrow\;\;\alpha\approx71,57^o$$$$\cos\beta=\cos\angle(-\vec c,\vec a)=\frac{\binom{-3}{1}\cdot\binom{-3}{-3}}{\sqrt{(-3)^2+1^2}\sqrt{2(-3)^2}}=\frac{6}{\sqrt{10}\sqrt{18}}\;\;\Rightarrow\;\;\beta\approx63,43^o$$$$\cos\gamma=\cos\angle(-\vec a,\vec b)=\frac{\binom{3}{3}\cdot\binom{0}{4}}{\sqrt{2(3)^2}\sqrt{4^2}}=\frac{12}{\sqrt{18}\cdot4}\;\;\Rightarrow\;\;\gamma=45^o$$

Comments

vielen Dank für Ihre Zeit!! :) mein Fehler lag also beim Einsetzen, nämlich dass ich den Vektor b nicht umgedreht habe, verstehe ich das richtig? Also sonst war mein Vorgehen ganz in Ordnung (?)

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okay merke gerade dass ich die Beträge auch falsch ausgerechnet habe...

habe also versucht, den Betrag eines anderen Vektors zu berechnen.

\( \vec{a} \)  = -0 4 2

berechne ich jetzt den Betrag, indem ich -0 ^2 + 4^2 + 2^2 berechne, und dann die Wurzel davon ziehe? Also der Betrag hier wäre dann 4.47

verstehe ich das mit dem Betrag richtig?

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Genau, dein Hauptfehler war, dass die Vektoren nicht denselben Startpunkt hatten. Der Betrag eines Vektors sieht so aus:$$\left|\,\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\,\right|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$Du musst also jede Komponente quadrieren, dann die Summe bilden und zum Schluß daraus die Wurzel ziehen.

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vielen Dank :D