Lagrange-Problem: Nichtlineares Gleichungssystem lösen

Question

Hallo, ich bräuchte noch einmal eure Hilfe bei folgendem GS:

\(yz + 2\lambda x = 0 \)

\(xz + 2\lambda y = 0 \)

\(xy+ 2\lambda z = 0 \)

\(x^2 + y^2 + z^2 - 12 = 0 \)

Könnt ihr mir bitte helfen?

Answer 1

Hallo Mona,

meistens lassen sich Gleichungen dieser Art gut lösen, wenn man zunächst das \(\lambda\) eleminiert. Du hast $$yz + 2\lambda x = 0 \\xy + 2\lambda z = 0 \\ zx + 2\lambda y = 0 \\ x^2 + y^2 + z^2 - 12 = 0$$löse die erste Gleichung nach \(\lambda\) auf, und setze das ein$$\lambda = -\frac{yz}{2x} \\ xy + 2\left( -\frac{yz}{2x} \right)z = 0  \implies x^2 y = yz^2\\ zx + 2\left( -\frac{yz}{2x} \right) y = 0 \implies zx^2 = y^2 z \\ \implies x^2 = y^2 = z^2$$Einsetzen in die Nebenbedingung gibt dann $$x^2 = y^2 = z^2 = 4$$und da wahrscheinlich negative Werte für \(x\), \(y\) und \(z\) entfallen, ist die einzige Lösung wohl \(x=y=z=2\) für einen Quader mit maximalem Volumen bei gegebener Raumdiagonale von \(2 \sqrt 3\).

Comments

Vielen Dank! Nur, warum betrachtet man z.B. den Fall y = 0 nicht? Denn man hat ja

\(x^2y - z^2y = 0 \),

und da lässt sich ja ausklammern:

\(y(x^2 - z^2)= 0 \).

Und dieser Term wird ja auch dann 0, wenn y=0. Bedarf der Fall y=0 also nicht einer Sonderbetrachtung?

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Vielen Dank! Nur, warum betrachtet man z.B. den Fall y = 0 nicht?

Weil ich es vergessen habe ;-) mit der entgültigen Lösung im Kopf, hatte ich das übersehen. \(y=0\) oder(!) \(x=0\) oder \(z=0\) sind auch Lösungen des Gleichungssystems. Wobei dann z.B. für \(y=0\) gilt, dass \(x^2+z^2=12\) sein muss, um die Nebenbedingung zu erfüllen.

Die Lagrange-Methode liefert nur die Orte für ein Extremum. Ob es sich um ein Minimum oder Maximum handelt muss man dann noch mal extra heraus bekommen. \(x=y=z\) wäre ein Maximum für die Hauptbedingung \(F= xyz\)

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Also ich habe hier auch die Lösungen der Aufgabe. Nur leider sind die so lakonisch gehalten, dass ich hier noch einmal nachfragen musste. In den Lösungen steht als Ergebnis genau das, was auch du herausbekommen hast. Außerdem steht dort:

"Für x=0 oder y=0 oder z=0 ist f(x,y,z) = xyz = 0. Angenommen x,y,z =/= 0. [...]"

Und dann kommen die auf dein Ergebnis. Ich verstehe aber nicht, wieso die das für x=0, y=0 oder z=0 nich durchrechnen. Ist das wegen f(x,y,z) = 0 für eine der Variablen gleich 0 für die Aufgabe irrelevant?

Original lautet sie so: "Bestimmen Sie mit der Methode von Lagrange das Minimum sowie Maximum von f: R^3 -> R, f(x,y,z) = xyz unter der Nebenbedingung x^2 + y^2 + z^2 = 12."

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Hallo Mona,

.. eine verdammt gute Frage. ich melde mich dazu später noch mal!

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Hallo Mona,

Ich musste da wirklich erstmal intensiv drüber nachdenken!

wenn \(y=0\) wird, so wird auch \(\lambda=0\) (s.o.). Das Lagrange-Verfahren beruht aber darauf, dass das Optimum gefunden wird, weil hier die Ableitungen von Neben- und Hauptbedingung in die gleiche Richtung verlaufen und sich nur in ihrem Betrag unterscheiden. Und dieser Faktor, der den Unterschied der Beträge beschreibt, ist das \(\lambda\). Und wenn dieser Faktor zu 0 wird, dann ist die Richtungsinformation obsolet. Das kann man sich so vorstellen, wie die Division durch \(0\) - das ist einfach nicht zulässig.

Ich nehme daher an (beweisen kann ich es nicht), dass eine Lösung, bei der das \(\lambda\) zu 0 wird, nicht zulässig ist und demzufolge keine ist. Interessanter Weise existiert das Problem in 2D nicht. Wenn ich z.B. die Funktion reduziere auf$$F(x,z) = x^2z, \quad \text{NB: }\space 2x^2 + z^2 - 12 = 0$$und damit einfach postuliere, dass \(x=y\) ist, dann kommt dieser Teil der 'Lösung' nicht vor.

das hier habe ich zu dem Thema noch gefunden. Ich sehe das als Bestätigung für das was ich schon geschrieben habe.

Gruß Werner

... und Danke für diese Frage ;-)

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AAhhhh, verstehe. Deine Ausführungen sind echt gut. Also mir kam jetzt der Gedanke, dass es eventuell an der Randbedingung liegt, sprich: (0,0,0) kann kein Extremum sein, weil der die Rangbedingung verletzt. Aber das würde auch nicht erklären, warum man annehmen darf, dass weder x=0 noch y=0 noch z=0, also dass gar keiner der dreien gleich 0 ist...

Du erwähnst in deinem Beitrag zwar nicht explizit den Begriff der Rangbedingung, aber vielleicht ist das ja genau das, was du meinst?