Lagrange-Methode Gleichungssystem lösen

Question

Problem/Ansatz:

Ich muss die Funktion f(x,y)=2x-3y auf Extremstellen untersuchen unter der Nebenbedingung g(x,y)=x²+y²-13=0. Ich habe versucht es mit der Lagrange Methode zu lösen und bin dabei auf folgende drei Gleichungen gekommen:

1. 2+2*λ*x=0

2.-3+2*λ*y=0

3.x²+y²-13=0

Die Gleichungen sind auch soweit richtig, allerdings schaffe ich es nicht nach x, y und λ aufzulösen ich bekomme immer als Ergebnis: Wurzel(39) was Falsch ist. Kann mir jemand helfen dieses Gleichungssystem zu lösen.

Außerdem muss ich dann sagen ob es sich jeweils um ein Maximum oder Minimum handelt.

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Hallo, habe deine bisherigen Ergebnisse weiterentwickelt,
siehe meine Antwort.

Answer 1

Ich muss die Funktion f(x,y)=2x-3y auf Extremstellen untersuchen unter der Nebenbedingung g(x,y)=x²+y²-13=0.

f(x,y)=2x-3y     x²+y²-13=0      y²  =13-x^2     y=\( \sqrt{13-x^2} \)

f(x)=2x - 3*\( \sqrt{13-x^2} \)

\( \frac{d f(x)}{d x}=2-3 \cdot \frac{-2 x}{2 \cdot \sqrt{13-x^{2}}}=2+\frac{3 \cdot x}{\sqrt{13-x^{2}}} \)

\( 2+\frac{3 \cdot x}{\sqrt{13-x^{2}}}=0 \mid \cdot \sqrt{13-x^{2}} \)

\( 2 \cdot \sqrt{13-x^{2}}+3 x=0 \)

\( 2 \cdot \sqrt{13-x^{2}}=-\left.3 x\right|^{2} \)

\( 52-4 x^{2}=9 x^{2} \)

\( 13 x^{2}=52 \)

\( x^{2}=\frac{52}{13} \)=4

\( y=\pm \sqrt{13-\frac{52}{13}}=\pm \sqrt{\frac{169-52}{13}}=\pm \sqrt{\frac{117}{13}}=\pm \sqrt{9}=\pm 3 \)

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Ein paar Unsauberkeiten:

Die Folgerung y²  =13-x^2   -->  y=\( \sqrt{13-x^2} \) ist falsch.

y=\( -\sqrt{13-x^2} \) ist genauso möglich (mit einer entsprechend anderen Ableitung).

Zum Schmunzeln: x^2=52/13. (Es soll Leute geben, die dazu "4" sagen.)

Das lässt im Übrigen die Möglichkeiten 2 und -2 offen.

Answer 2

Die erste Gleichung wird zu x=-1/λ.

Die zweite Gleichung wird zu y=1,5/λ.

Die dritte Gleichung wird zu

1/ λ² + 2,25/λ²  = 13

 3,25/λ²  = 13

λ²  = 1/4.

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Könntest du vielleicht mit deine Rechnung zeigen? Immer wenn ich versuche das zu Rechnen bekomme ich: x=-4/λ, y=6/λ

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Was soll ich denn noch zeigen?? Wenn du λ²=1/4 nicht "verarbeiten" kannst: Das bedeutet, dass λ² entweder 1/2 oder -1/2 ist.

Setze das in die erste bzw. in die zweite Gleichung ein und berechne die beiden konkreten Möglichkeiten für x bzw. für y.

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Ich wollte wissen welche Rechenoperationen du in der Ersten Gleichung angewendet hast um sie auf x=-1/λ zu kommen. Weil in meinen Lösungen x=1/λ also ohne das Minus steht und ich selber ein völlig anderes Ergebnis raus habe. Kein Grund direkt so unfreundlich zu werden

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Also ich hätte als erstes in der ersten Gleichung auf beiden Seiten 2 subtrahiert...

Answer 3

Hallo shrekthabest,

du warst ja schon nah am Ziel:

\(2=-2\lambda x\quad(1)\)

\(-3=-2\lambda y\quad (2)\).

Wegen \(\lambda,x,y\neq0\) kann man Gleichung (2)

durch Gleichung (1) dividieren:

\(\frac{y}{x}=-3/2\), also \(y=-3/2 x\).

Einsetzen in Nebenbedingung liefert \(x^2+(9/4)x^2=13\),

also \(x^2/4=1\), d.h. \(x=\pm 2\) und somit liegen die Extrema bei

\((-2,3)\) und \((2,-3)\). \(\lambda\) ist nur eine Hilfsvariable,

deren Wert hier uninteressant ist, es sei denn,

man will die Extremaleigenschaft der Punkte durch die

Positiv- oder Negativdefinitheit einer Art Hessematrix

absichern. Meist verzichtet man darauf.