Nichtlineares Gleichungssystem lösen mit Hilfe der Lagrange Methodik

Question

Lösen Sie das nichtlineare Gleichungssystem

20    -    λ80A^_-0,2 K^0,2  = 0    (1.)

10    -    λ20A^_0,8 K ^-0,8 = 0    (2.)

10000 - 100A^0,8 K^{-0, 2}= 0    (3.)

Lösungsweg:

Ich weiß, dass man λ (lambda) auf die rechte Seite bringen muss bei der ersten und zweiten Gleichung und diese beiden Gleichungen dann Subtrahiert um lambda aufzulösen und um danach nach A oder K die Gleichung umzustellen. Später setzt man für A oder K ( je nach welcher Variablen man aufgelöst hat) in die 3. Gleichung ein um einen der beiden Variablen zu berechnen.

Das Problem das ich habe ist jetzt, wie ich das Lambda auf die rechte Seite bekomme und dann die 1. und die 2. Gleichung subtrahiere.

Mein Ansatz: (wie ich rechnen würde - was aber mir persönlich falsch erscheint)



20    -    λ80A^_-0,2 K^0,2  = 0    / + λ80A^_-0,2 K^0,2

20 = λ80A^_-0,2 K^0,2                   / : 80A^_-0,2 K^0,2    ---> A und K über den Bruchstrich bringen sprich A^0,2 und K^-0,2

 λ   =  20/80 + A^0,2 + K^-0,2  (1. Gleichung)



genau dasselbe mit Gleichung Zwei:

10    -    λ20A^_0,8 K ^-0,8 = 0    / + λ20A^_0,8 K ^-0,8

10 = λ20A^_0,8 K ^-0,8               / : 20A^_0,8 K ^-0,8 --> A und K über den Bruchstrich bringen sprich A^-0,8 und K^0,8

λ = 10/20 + A^-0,8  + K^0,8   (2.Gleichung)


Jetzt (1.Gleichung)   -   (2. Gleichung)

-0,25 + A^0,2 - A^-0,8 + K^-0,2 - K^_0,8   = 0



Kann jemand bis hier hin mal prüfen ob es so richtig wäre und die rot markierte Gleichung, falls der ansatz richtig ist, nach A oder K umstellen? DANKE

Answer 1

20 - λ·80·a^{-0.2}·k^0.2 = 0
λ = a^{1/5}/(4·k^{1/5})

In 2. Gleichung einsetzen

10 - a^{1/5}/(4·k^{1/5})·20·a^0.8·k^{-0.8} = 0
10 - 5·a/k = 0
a = 2·k

In 3. Gleichung einsetzen

10000 - 100·(2·k)^0.8·k^{-0.2} = 0
10000 - 100·2^{4/5}·k^{3/5} = 0
k = 500·5^{1/3} = 855

a = 2·500·5^{1/3}
a = 1000·5^{1/3} = 1710

Comments

Nach meinen Unterlagen wird vorgeschlagen lambda aufzulösen aber deine Methode ist viel viel besser und verständlicher. Vielen vielen Dank für die Antwort.

MfG

---

Ne Frage hab ich doch noch:

Kannst du mir erklären was für rechenschritte du machst bei den rot markierten teilen der rechnung

10000 - 100·(2·k)^0.8·k^-0.2 = 0
10000 - 100·2^4/5·k^3/5 = 0
k = 500·5^1/3 = 855

Wie kommst du auf 500* 5^{1/3}?

EDIT: Ok es kommt doch das richtige raus - hab vergessen beim Taschenrechner in Klammern zu setzen aber wie du auf 500 * 5^1/3 kommst weiß ich immer noch nicht :D

---

10000 - 100·(2·k)^0.8·k^{-0.2} = 0 

10000 - 100·2^{0.8}·k^{0.6} = 0 

k = (-10000/(-100·2^{0.8}))^{1/0.6} = 500·5^{1/3} Es langt wenn man das dezimal ausrechnet.