partielle Ableitung Wie komme ich weiter integriert?

Question

Aufgabe:

Wir formen nun den zweiten Term in (4.20) um. Dazu benutzen wir die Identität
$$ m_{i} \ddot{\boldsymbol{r}}_{i} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{j}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left[m_{i} \dot{\boldsymbol{r}}_{i} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{j}}\right]-m_{i} \dot{\boldsymbol{r}}_{i} \cdot \frac{\partial \dot{\boldsymbol{r}}_{i}}{\partial q_{j}} $$
Die Richtigkeit dieser Beziehung kann durch Ausdifferenzieren der eckigen Klammer nachgeprüft werden. Aus (4.17) folgt durch Zeitableitung
$$ \dot{\boldsymbol{r}}_{i}=\frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{1}} \dot{q}_{1}+\ldots+\frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{j}} \dot{q}_{j}+\ldots+\frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{f}} \dot{q}_{f}=\sum \limits_{j} \frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{j}} \dot{q}_{j} $$
Differenziert man nun nach \( \dot{q}_{j}, \) so bleibt von der Summe nur ein Term übrig:
$$ \frac{\partial \dot{r}_{i}}{\partial \dot{q}_{j}}=\frac{\partial r_{i}}{\partial q_{j}} $$
Damit wird aus (4.21)
$$ \begin{aligned} m_{i} \ddot{r}_{i} \cdot \frac{\partial r_{i}}{\partial q_{j}} &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left[m_{i} \dot{r}_{i} \cdot \frac{\partial \dot{r}_{i}}{\partial \dot{q}_{j}}\right]-m_{i} \dot{r}_{i} \cdot \frac{\partial \dot{r}_{i}}{\partial q_{j}} \\ &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left[\frac{\partial}{\partial \dot{q}_{j}}\left(\frac{1}{2} m_{i} \dot{r}_{i}^{2}\right)\right]-\frac{\partial}{\partial q_{j}}\left(\frac{1}{2} m_{i} \dot{r}_{i}^{2}\right) \end{aligned} $$

/Ansatz:

Mein Problem ist wie man von der vorletzten auf die letzte Gleichung kommt. Klar ich erkenne das sich die dritte Gleichung in die erste Einsetzen lässt, aber dann stehe ich irgendwie auf dem Schlauch. 1/2 und ri Quadrat sehen natürlich verdächtig nach Integriert aus....

Answer 1

Aloha :)

Da versteckt sich die Kettenregel bzw. Substitutionsregel hinter. Am einfachsten siehst du das, wenn du rückwärts rechnest.$$\frac{\partial}{\partial\dot q_j}\left(\frac{1}{2}m_i\,r_i^2\right)=\frac{1}{2}m_i\frac{\partial(r_i^2)}{\partial\dot q_j}=\frac{1}{2}m_i\,\underbrace{2r_i}_{äußere}\,\underbrace{\frac{\partial\,r_i}{\partial\dot q_j}}_{innere}=m_ir_i\frac{\partial\,r_i}{\partial\dot q_j}$$$$\frac{\partial}{\partial q_j}\left(\frac{1}{2}m_i\,\dot r_i^2\right)=\frac{1}{2}m_i\frac{\partial(\dot r_i^2)}{\partial q_j}=\frac{1}{2}m_i\,\underbrace{2\dot r_i}_{äußere}\,\underbrace{\frac{\partial\,\dot r_i}{\partial q_j}}_{innere}=m_i\dot r_i\frac{\partial\,\dot r_i}{\partial q_j}$$

Comments

Hey :)

!!

Respekt da so schnell drauf gekommen zu sein!!! Ich habe die Entscheidende Sache ja nicht bemerkt und nicht angegeben.

\( \boldsymbol{r}_{i}=\boldsymbol{r}_{i}\left(q_{j}\right) \)

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Die Abhängigkeit \(r_i=r_i(q_j)\) habe ich der Zeile \(\dot r_i=\cdots\) entnommen. Das sieht mir sehr nach generalisierten Koordinaten \(q_i\) aus. Ihr entwickelt vermutlich gerade die Euler-Lagrange-Gleichungen ;)

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Hab ich auch gerade gesehen, dass man es auch da erkennt.

Ihr wäre schön in meinem Studium an der Fh macht man so was nicht....

Newton rauf und runter....

Wird halt langweilig und dann muss man sich mit was anderem beschäftigen

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In die andere Richtung sehe ich es nicht, aber mal schauen

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Bei Newton kommt sehr oft die Ableitung von \(\vec r^2\) vor:$$\frac{d}{dt}\left(\vec r^2\right)=2\vec r\,\frac{d\vec r}{dt}=2\,\vec r\cdot\dot{\vec r}$$Das heißt, immer wenn irgendwas der Form \(\vec r\cdot\dot{\vec r}\) auftaucht, sollte man im Hinterkopf haben, dass man das als \(\frac{1}{2}\frac{d}{dt}(\vec r^2)\) schreiben kann.

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Nochmal danke!!!!

Jetzt habe ich es 100 %. Das Newton kenn ich gut :)