Wie groß muss n mindestens sein, damit eine Hypothese zum p-Wert abgelehnt werden kann?

Question

Ich weiß, es gibt gerade wirklich wichtigere Probleme auf der Welt, aber leider steht eine Nachprüfung unmittelbar direkt am 1. Tag nachdem die hessischen Universitäten wieder öffnen, am 20. April um 8.00 Uhr, vor der Tür. Aber ich will eure wertvolle Zeit nicht weiter mit albern-kindischen Randinformationen verschwenden, sondern direkt "in medias res" gehen...

Aufgabe:

Für p ∈ (0,1) seien Z₁, Z₂,... unabhängig und identisch verteilt, mit P(Z_i = 1) = p, P(Z_i = -1) = 1 - p. Für n ∈ ℕ₀ sei X_n := \( \sum\limits_{i=1}^{n}{Z_i} \).

Für ein bestimmtes n wurde der Ausgang 0.63 der Zufallsvariablen Xn / n besobachtet. Wie groß muss n (mindestens) sein, damit die Hypothese 4/5 zu einem p-Wert ≤ 4/5 zu einem p-Wert ≤ 0.05 abgelehnt werden kann?

Ansatz:

Xn = \( \sum\limits_{i=1}^{n}{Z_i} \) mit Zi ∈ {-1,1}

\( \frac{X_n}{n} \) = 0,63

Zentraler Grenzwertsatz: \( \frac{\frac{X_n}{n} - E [\frac{X_n}{n}]}{\sqrt{\frac{X_n}{n}}} \)

E [\( \frac{X_n}{n} \) = \( \frac{1}{n} \) * E [X_n] = \( \frac{1}{n} \) * E [\( \sum\limits_{i=1}^{n}{Z_i} \)] = \( \frac{1}{n} \) * \( \sum\limits_{i=1}^{n}{E [Z_i]} \).

= \( \frac{1}{n} \) * n * E [Z_i] = E [Z_i] = 1 * p + (1 - p) * (1 - p)

= p - 1 + p = 2 p - 1

Var [\( \frac{X_n}{n} \) ]= \( \frac{1}{n²} \) Var [\( \sum\limits_{i=1}^{n}{Z_i} \)] = \( \frac{1}{n²} \) * n * Var [Z_i] = \( \frac{1}{n} \) (E [Z₁²] - E [Z₁]²) = p + 1 - p - (2p - 1)² = \( \frac{4p(1-p)}{n} \)

n, so dass \( \frac{|0,03-(2*\frac{4}{5}-1)|}{\sqrt{\frac{4 * \frac{4}{5} * \frac{1}{5}}{n}}} \) = 2.

<=> \( \frac{0,03}{\frac{0,8}{\sqrt{n}}} \) = 2

<=> \( \sqrt{n} \) = 2 \( \frac{0,8}{0,03} \) = 53,33

<=> n = (53,33)²

Was ich hier nicht verstehe: Wieso ist bei der Umformung der Varianz \( \frac{1}{n} \) (E [Z1²] - E [Z1]²) = p + 1 - p - (2p - 1)² ? Also das (2p - 1)² versteh ich noch, weil das einfach der quadrierte Erwartungswert ist. Aber warum p +1 - p??

Das wird dann zu \( \frac{4p(1-p)}{n} \) vereinfacht und ab hier blick ich überhaupt nicht mehr durch.

n, so dass \( \frac{|0,03-(2*\frac{4}{5}-1)|}{\sqrt{\frac{4 * \frac{4}{5} * \frac{1}{5}}{n}}} \) = 2.

Woher kommt hier die 0,03 ? Warum soll das gleich 2 gesetzt werden? Was passiert hier?

Laut unserem Buch wird der Zentrale Grenzwertsatz wie folgt definiert

"Die Zufallsvarialben X1, X2 ... seien reellwertig unabhängig und identisch verteilt mit endlichem Erwartungswert µ und endlicher positiver Varianz σ². Dann gilt für die standardisierten Summen

Y*_n := \( \frac{X_1 + ... + X_n - nµ}{σ\sqrt{n}} \)

und für alle -∞ ≤ c < d ≤ ∞

\( \lim\limits_{n\to\infty} \) P (c ≤ Y*_n ≤ d) -> P (c ≤ Z ≤ d),

wobei Z eine standard-normalverteilte reelwertige Zufallsvarialbe bezeichnet".

Wof findet sich das hier wieder? ich komme ab diesem Schritt einfach nicht mehr weiter.

Danke und bleibt gesund!

Eure Marceline, The Vampire Queen

Answer 1

Solange in deinen Rechnungen grobe Fehler drin sind habe ich keine Lust mich damit zu beschäftigen. Sind die Fehler durch die Übernahme aus der Musterlösung entstanden?

Aber ich denke mal du meinst dies:

E(Z_i²) = 1² * p + (-1)² * (1 - p) = p + 1 - p

Comments

Das ist eine 1:1 Mitschrift der Musterlösung. Sollte die Rechnung Fehler enthalten, dann sind sie daraus entstanden.

Danke für die Erklärung zu E (Z_i²)

Habe mich heute Nacht nochmal genauer mit der Aufgabe befasst und jetzt sämtliche Rechenschritt eund Umformungen nachvollziehen können. Das einzige, was mich noch wundert.

Wieso rechnet man mit 0.03? Müsste es nicht 0.05 sein? Weil das ja die Schranke für den p-Wert ist. Traue mich irgendwie nicht die Musterlösung anzuzweifeln, kann es aber auch nicht nachvollziehen?

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Vermutlich eher 0.63 statt 0.03

Aber wie gesagt ich kann nich ganz nachvollziehen woher die vielen Fehler stammen. Hast du die Musterlösung durch die Automatisch LATEX Erkennung laufen lassen?

Wenn ja dann liegt es vermutlich daran.