Kollineare Vektoren haben eine Lösung

Question

Aufgabe:

Untersuche ob die geraden parallel, identisch oder weder noch sind.

g: \( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 4\\1\\-2 \end{pmatrix} \) + k *\( \begin{pmatrix} 1\\-3\\2 \end{pmatrix} \) ; h: \( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 17\\-38\\24 \end{pmatrix} \) + k * \( \begin{pmatrix} -5\\15\\-10 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

ich habe diese nun als LGS geschrieben:

4+k=17-5k

1-3k=-38+15k

-2+2k=24-10k

Und in Geogebra CAS eingegeben. als lösung kam k=13/6 raus, welches mit sehr verwundert, da die richtungsvektoren kollinear sind.

Answer 1

Aloha :)

Wie du richtig schreibst, sind die Richtungsvektoren kollinear. Die beiden Geraden verlaufen also parallel zueinander. Das bedeutet aber auch, dass die beiden Geraden eventuell identisch sein könnten. Weiter hast du in deiner Rechnung ermittelt, dass der Punkt \((4|1|-2)\) der Geraden \(g\) auch auf der Geraden \(h\) liegt, denn das Gleichungssystem hat ja eine eindeutige Lösung. Zwei parallele Geraden, die einen gemeinsamen Punkt haben, sind identisch.