Aloha :)
Da du die Fäche zwischen den beiden Graphen bestimmen sollst, musst du die Schnittpunkte kennen, damit du weißt, von wo bis wo du integrieren musst. Wir setzen dazu die beiden Funktionen gleich:
$$f_1(x)=f_2(x)$$$$\left.\frac{5x}{x^2+1}=x\quad\right|\;:x\quad\text{für }x\ne0$$$$\left.\frac{5}{x^2+1}=1\quad\right|\;\text{Kehrwert}$$$$\left.\frac{x^2+1}{5}=1\quad\right|\;\cdot5$$$$\left.x^2+1=5\quad\right|\;-1$$$$\left.x^2=4\quad\right|\;\sqrt{\cdots}$$$$\left.x=\pm2\quad\right.$$Da wir oben durch \(x\) dividiert haben und daher \(x\ne0\) fordern mussten, müssen wir den Fall \(x=0\) noch prüfen, und tatsächlich ist auch \(x=0\) ein Schnittpunt, denn:$$f_1(0)=\frac{5\cdot0}{0^2+1}=\frac{0}{1}=0=f_2(0)$$Wir haben also 3 Schnittpunkte gefunden:$$x_1=-2\quad;\quad x_2=0\quad;\quad x_3=2$$Die gesuchte Fläche findest du nun wie folgt:
$$F=\left|\int\limits_{-2}^0\left(\frac{5x}{x^2+1}-x\right)dx\right|+\left|\int\limits_0^2\left(\frac{5x}{x^2+1}-x\right)dx\right|$$$$\phantom{F}=\left|\int\limits_{-2}^0\left(\frac{5}{2}\cdot\frac{2x}{x^2+1}-x\right)dx\right|+\left|\int\limits_0^2\left(\frac{5}{2}\cdot\frac{2x}{x^2+1}-x\right)dx\right|$$$$\phantom{F}=\left|\left[\frac{5}{2}\ln|x^2+1|-\frac{x^2}{2}\right]_{-2}^0\right|+\left|\left[\frac{5}{2}\ln|x^2+1|-\frac{x^2}{2}\right]_0^2\right|$$$$\phantom{F}=\left|(0-0)-\left(\frac{5}{2}\ln|(-2)^2+1|-\frac{(-2)^2}{2}\right)\right|$$$$\phantom{F}+\left|\left(\frac{5}{2}\ln|2^2+1|-\frac{2^2}{2}\right)-(0-0)\right|$$$$\phantom{F}=\left|\left(\frac{5}{2}\ln(5)-2\right)\right|+\left|\left(\frac{5}{2}\ln(5)-2\right)\right|=2\left(\frac{5}{2}\ln(5)-2\right)=5\ln(5)-4$$
