allgemeine Lösung der Differenzialgleichung: y''+2y'+y=-2cos(-x)+3cos(2x)+4sin(2x)

Question

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung:

y''+2y'+y=-2cos(-x)+3cos(2x)+4sin(2x)

Mein Ansatz:

y=y homogen+y partikulär

homogen: y=λ²+2λ+1 -> λ=-1 -> y=c*e^-x

partikulär: p(λ)=λ²+2λ+1 -> λ=-1 ->  ω=-1 und ωi=-i: da ωi und λ keine Übereinstimmung haben, folgende Form: y=b1*sin(ωx)+b2*cos(ωx)

Hier entsteht die erste Frage: Ist mein Ansatz bis hierhin noch richtig? Oder muss ich die Form: y=x*(b1*sin(ωx)+b2*cos(ωx)) verwenden?

Danach muss ich meine partikuläre Formel ableiten, alles einsetzen, vereinfachen und den Koeffizientenvergleich durchführen, sodass ich b1 und b2 rausfind und dann in die ursprüngliche Formel einsetzen?

Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Vielen Dank im Voraus. 

Answer 1

Hallo,

kompletter Lösungsweg:

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y=λ^2+2λ+1=0 -> λ=-1  ist unvollständig

Lösung:

λ_1.2= -1 ----------> y_h= C₁e^(-x) +C₂ e^(-x) *x

sieh Tabelle z.B .Harriehausen:

http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

Ansatz partikuläre Lösung:

Hinweis:

cos(-x) =cos(x)

Du mußt also 2 part. Ansätze für cos(x) und cos(2x) +sin(2x)  siehe Tabelle machen.

yp₁=A cos(x) + Bsin(x)

yp₂= C cos(2x) +D sin(2x)

y_p= yp₁ +yp₂

_{Danach muss ich meine partikuläre Formel ableiten (2 Mal) , alles einsetzen, vereinfachen und den Koeffizientenvergleich durchführen, sodass ich A,B,C,D rausfinde .}

_-->JA

_allgemein:

y=y_h+y_p

_{Lösung: y(x) = C_1 e^(-x) + C_2 e^(-x) x - cos(2x) -sin(x)}

Comments

Vielen Dank! Sie haben mir sehr weitergeholfen.

Jetzt stellt sich mir nur noch folgende Frage:

Ich komme beim Koeffizientenvergleich auf A=0, B=-1, C=-1, D=0. Wie kommt man dann auf die partikuläre Lösung von -cos(2x)-sin(x).

Man muss doch hier A,B,C,D ersetzen?

Vielen Dank im Voraus.

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indem Du in den part.Ansatz:

yp=A cos(x) + Bsin(x) + C cos(2x) +D sin(2x)

die Werte A bs D einsetzt.

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Wurde diese Aufgabe komplett gelöst ? Ich wäre sooooo dankbar wenn’s jemand hochladen würde

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Grosserloewe, könntest du mir auch diese Aufgaben Lösung zeigen ?

Vielen Dank

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Kompletter Lösungsweg, siehe oben, habe den Weg ergänzt.

Answer 2

Hallo,

wie komme ich rechnerisch auf den Koeffizientenvergleich mit A,B,C und D?

Also bei der Störfunktion: f(x)=-2cos(x)+3cos(2x)+4sin(2x)

Vielen Dank