Ableitung von Potenzfunktionen

Question

Aufgabe:

Welche Gerade schneidet die Tangente an dem Graphen der Funktion f(x)=x^-3 im Punkt P(1/1) unter einem rechten Winkel?

In welchem Punkt P(x0/y0) des Graphen von f(x)=1/x^2 muss die Tangente angelegt werden, damit diese die x-Achse bei x=3 schneidet?

Berechnen sie die Ableitungsfunktion von f mit Hilfe der Ableitungsregeln.

a) f(x)= x^2+ x^-2

b) f(x)= Wurzel x^5+5 wurzel x^2

c) f(x)= x^1,41 + x^-22/7

d) f(x)= x^wurzel2 + x^- pie

Answer 1

Welche Gerade schneidet die Tangente an dem Graphen der Funktion f(x)=x^-3 im Punkt P(1/1) unter einem rechten Winkel?

Gerade durch Punkt (x0 | y0) mit Steigung m:

        g(x) = m·(x - x₀) + y₀

Steigung einer Geraden, die senkrecht zu einer Geraden mit Steigung m verläuft:

        -1/m

In welchem Punkt P(x0/y0) des Graphen von f(x)=1/x² muss die Tangente angelegt werden, damit diese die x-Achse bei x=3 schneidet?

Tangente ist eine Gerade, also

        t(x) = mx + b.

Die Tangente hat dort wo sie angelegt wird die gleiche Steigung wie die Funktion. Also

        t'(x0) = f'(x0)

und somit

(1)        m = f'(x₀).

Außerdem hat sie dort wo sie angelegt wird den gleichen Funktionswert wie die Funktion. Also

        t(x₀) = f(x₀)

und somit

(2)        m·x₀ + b = 1/x₀²

Die x-Achse wird bei Nullstellen geschnitten, also

(3)        m·3 + b = 0.

Löse das Gleichungssystem (1), (2), (3).

Berechnen sie die Ableitungsfunktion von f mit Hilfe der Ableitungsregeln.

Ableitungsregeln:

1. Potenzregel f(x) = xⁿ ⇒ f'(x) = n·x^n-1.
2. Summenregel f(x) = g(x) + h(x) ⇒ f'(x) = g'(x) + h'(x)
   
3. Faktorregel f(x) = c·g(x) ⇒ f'(x) = c·g'(x).

Wurzeln und Brüche können in Potenzen umgeformt werden:

        ⁿ√a = a^1/n

        1/a = a^-1

Comments

Hallo,

danke erstmal für ihre Antwort. Ich kenne die Ableitungsregeln aber ich verstehe trotzdem nicht wie ich alles einsetzen muss. Und könnten sie mir bei den anderen Aufgaben auch noch helfen?

Liebe Grüße

---

Ein paar Beispiele.

Beispiel 1. In Regel 1. steht, wie Potenzfunktionen abgeleitet werden.

Die Funktion

        f(x) = x^-1/3

ist eine Potenzfunktion mit n = -1/3. Ableitung ist also

        f'(x) = -1/3·x^-1/3-1.

Beispiel 2. Die Funktion

        f(x) = x⁵ + x³

ist eine Summe aus den Summanden

        g(x) = x⁵ und h(x) = x³.

Regel 2. sagt, wie Summen abgeleitet werden, nämlich indem man die Summanden ableitet und dann addiert.

        g'(x) = 5x⁴  wegen Regel 1.

        h'(x) = 3x² wegen Regel 1.

Also

        f'(x) = 5x⁴ + 3x².

Beispiel 2. Die Funktion

        f(x) = 5x⁴

ist ein Produkt aus einem konstanten Faktor

        c = 5

und einem weiteren Faktor

        g(x) = x⁴ .

Laut Regel 3. werden solche Produkte abgeleitet indem g abgeleite wird und dann mit c multipliziert wird. Also

        g'(x) = 4x³ laut Regel 1

und somit

        f'(x) = 5·4x³ = 20x³.

---

Ich habe es jetzt versucht und würde gerne wissen ob das richtig ist.

a) f(x)=x^2+x^-2

f´(x)=2x+1/x^2

b) f(x)=Wurzel x^5+5. Wurzel x^2

f´(x)=5x^4+ 2x^1/5

c) f(x)=x^1,41 + x ^-22/7

f´(x)= 1,41 x^0,41 + -22/7x^-22/7-1

d) f(x)= x ^wurzel von 2 + x^- pie

f´(x)= 2x^Wurzel von 2-1 + Pie *x ^- Pie -1

Und könnten sie mir bei "Welche Gerade schneidet die Tangente an dem Graphen der Funktion f(x)=x^-3 im Punkt P(1/1) unter einem rechten Winkel?" helfen?

---

a) f(x)=x²+x^-2

Laut Summenregel musst du x² und x^-2 ableiten.

x² hast du korrekt abgeleitet.

Ableitung von x^-2 ist -2x^-3 laut Potenzregel.

f(x) = √x⁵ +  ⁵√x²

Zunächst umschreiben zu

        f(x) = (x⁵)^1/2 + (x²)^1/5
              = x^5·1/2 + x^2·1/5
              = x^5/2 + x^2/5

und dann ableiten wie bei a).

f´(x)= 1,41 x^0,41 + -22/7x^-22/7-1

Richtig.

f´(x)= 2x^{Wurzel von 2 - 1} + Pie *x^{- Pie -1}

Da kommt √2 als Faktor vor x^{Wurzel von 2 - 1}, nicht 2. Ansonsten richtig.

Und könnten sie mir bei "Welche Gerade schneidet die Tangente an dem Graphen der Funktion f(x)=x^-3 im Punkt P(1/1) unter einem rechten Winkel?" helfen?

Kommt noch.

---

Welche Gerade schneidet die Tangente an dem Graphen der Funktion f(x)=x^-3 im Punkt P(1/1) unter einem rechten Winkel?

g(x) = -1/f'(1) · (x-1) + 1