Gleichung mit Potenzen

Question

Wie kommt man darauf, dass der X-Wert bei 3*16^x+128*16^-x= 100 gleich x=1,25 beträgt, welche Herangehensweisen fallen euch ein?

Answer 1

Multipliziere die Gleichung mit 16^x, dabei entsteht eine quadratische Gleichung. Löse diese.

Wenn du nicht siehst, dass es eine quadratische Gleichung ist, dann substituiere 16^x =z

Answer 2

3·16^x + 128·16^(-x) = 100

subst. 16^x = z → x = ln(z)/ln(16)

3·z + 128/z = 100

3·z^2 + 128 = 100·z

3·z^2 - 100·z + 128 = 0 --> z1 = 4/3 ∨ z2 = 32

x1 = ln(4/3)/ln(16) = 0.1037593748

x2 = ln(32)/ln(16) = 1.25

Comments

Man lernt nie aus: 16^x=32 berechnet man im Zeitalter von Rechenautomaten logarithmisch. Schade.

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Im Zeitalter von cut & paste ist das einfacher als jetzt extra noch für einen Sonderfall eine andere Rechnung hinzuschreiben.

Answer 3

Setze u=16^x. Dann erhältst du die quadratische Gleichung 3u²-100u+128=0 mit den Lösungen u=4/3 und u=32. u=4/3 lassen wir außer Acht. Resubstitution ergibt 16^x=32 oder 2^4x=2⁵. Exponentenvergleich 4x=5 oder x=1,25.