Hochpunkt berechnen Exponentialfunktion

Question

Aufgabe:

Beweise, das der Hochpunkt von

f(x)= 2,4-0,2(e^(2,5x)+e^(-2,5x))

Bei (2/0) liegt.

Meine Idee:

Die Gleichung nehmen und normal den Hochpunkt berechnen. Mein Problem: Bei mir kommt für x nie 2 raus, was aber eigentlich stimmt.

Meine (falsche) Rechnung :

f(x)= 2,4-0,2(e^(2,5x)+e^(-2,5x)) 

f'(x)= -0,2(2,5e^(2,5x)+(-2,5)e^(-2,5x))

0= -0,2(2,5e^(2,5x)+(-2,5)e^(-2,5x)) | +0,2

0,2= = (2,5e^(2,5x)+(-2,5)e^(-2,5x)) | ÷2,5

0,08= e^(2,5x)-e^(-2,5x) | ln

ln(0,08) = 2,5x+ 2,5x

ln(0,08)= 5x |÷ 5

-0,50= x

Comments

0,08= e^(2,5x)-e^(-2,5x) | ln

ln(0,08) = 2,5x+ 2,5x

Differenzen dürfen so nicht logarithmiert werden.

Answer 1

0= -0,2(2,5e^(2,5x)+(-2,5)e^(-2,5x)) | +0,2

-0,2 ist ein Faktor, d.h. du darfst nicht addieren, sondern musst durch (-0,2) dividieren.

0= -0,2(2,5e^(2,5x)+(-2,5)e^(-2,5x)) | :(-0,2)

0= 2,5e^(2,5x)+(-2,5)e^(-2,5x))

0=2,5(e^(2,5x)-e^(-2,5x))   |:2,5

0=e^(2,5x)-e^(-2,5x)  | e^(-2,5x) ausklammern

0=e^(-2,5x)(1-e^(5x))

e^(-2,5x) ist für reelle x nie Null.

0=1-e^(-5x)

1=e^(-5x)

x=0

y=2

Hochpunkt (0|2)

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Meine Lösung sieht so aus:
$$f'(x)=0.5e^{-2.5 x} (1- e^{5 x})$$

$$ 0=0.5e^{-2.5 x} (1- e^{5 x}) $$


$$ 0.5e^{-2.5 x}\ne 0$$

$$ 0=1- e^{5 x}\Rightarrow 1= e^{5 x} \Rightarrow x=0$$

Der Hochpunkt liegt bei (0|2).

https://www.desmos.com/calculator/hyrnqt7ihg

Answer 2

Nur x=0 ist reelle Nullstelle der ersten Ableitung. Die Nullstelle x=2 gibt es nicht.

Comments

Dann ist mir gerade ein Denkfehler meinerseits aufgefallen, vielen Dank! Der Hochpunkt liegt bei (0/2)

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Klammere 2,5*e^(-2,5x) aus!

--> e^(5x)-1 =0

5x= ln1 =0

x= 0

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An welcher Stelle denn genau?

(Entschuldigt die vielen Fragen)

Answer 3

Beweise, das der Hochpunkt von

f(x)= 2,4-0,2(e^(2,5x)+e^(-2,5x))

bei (2/0) liegt.

Das kann man nicht beweisen. Der Punkt (2 | 0) liegt nicht mal auf der Funktion. Was sich leicht durch einsetzen x = 2 zeigen lässt.

Der Hochpunkt liegt bei (0 | 2) was ein deutlicher unterschied ist.

f(x) = 2.4 - 0.2·(e^(2.5·x) + e^(- 2.5·x))

f'(x) = 0.5·e^(- 2.5·x) - 0.5·e^(2.5·x) = 0 → x = 0 was man schon leicht sehen kann.

Den Rest spare ich mir mal. Das ist ja nur noch Formsache.