Wie löse ich diese zwei Aufgaben bei Potenzen und Wurzeln?

Question

Aufgabe:

a) 6 * \( 2^{2n-1} \) + 3 - \( 2^{2n+1} \) - 16 * \( 2^{2n-4} \) + 24 * \( 2^{2n-3} \)
b) 54 * \( 3^{k-3} \) + 5 * \( 3^{k+2} \) - 24 * \( 3^{k-1} \) - 4 * \( 3^{k+1} \)

Problem/Ansatz:

Bei a) habe ich als Ergebnis: 3 * \( 4^{n} \) + 3 * \( 2^{n} \) - 4 * \( 4^{n} \) - 8 * \( 4^{n} \), ist das so korrekt?

Bei b) habe ich allerdings noch gar nichts.

Answer 1

Aloha :)

$$\phantom{=}6\cdot2^{2n-1}+3\cdot2^{2n+1}-16\cdot2^{2n-4}+24\cdot2^{2n-3}$$$$=\overbrace{3\cdot2^1}^{=6}\cdot2^{2n-1}+3\cdot\overbrace{2^1\cdot2^{2n}}^{=2^{2n+1}}-\overbrace{2^4}^{=16}\cdot2^{2n-4}+\overbrace{3\cdot2^3}^{=24}\cdot2^{2n-3}$$$$=3\cdot\underbrace{2^1\cdot2^{2n-1}}_{=2^{2n}}+\underbrace{3\cdot2^1}_{=6}\cdot2^{2n}-\underbrace{2^4\cdot2^{2n-4}}_{=2^{2n}}+3\cdot\underbrace{2^3\cdot2^{2n-3}}_{=2^{2n}}$$$$=3\cdot2^{2n}+6\cdot2^{2n}-2^{2n}+3\cdot2^{2n}$$$$=11\cdot2^{2n}=11\cdot4^n$$

$$\phantom{=}54\cdot3^{k-3}+5\cdot3^{k+2}-24\cdot3^{k-1}-4\cdot3^{k+1}$$$$=\overbrace{2\cdot3^3}^{=54}\cdot3^{k-3}+5\cdot\overbrace{3^2\cdot3^{k}}^{=3^{k+2}}-\overbrace{8\cdot3^1}^{=24}\cdot3^{k-1}-4\cdot\overbrace{3^1\cdot3^{k}}^{3^{k+1}}$$$$=2\cdot\underbrace{3^3\cdot3^{k-3}}_{=3^k}+\underbrace{5\cdot3^2}_{=45}\cdot3^{k}-8\cdot\underbrace{3^1\cdot3^{k-1}}_{=3^k}-\underbrace{4\cdot3^1}_{=12}\cdot3^{k}$$$$=2\cdot3^{k}+45\cdot3^{k}-8\cdot3^{k}-12\cdot3^{k}$$$$=27\cdot3^k=3^3\cdot3^k=3^{k+3}$$

Comments

Ok. Danke für die Antwort. Mich verunsichert es gerade welche Lösung nun richtig, da ihr verschiedene Endergebnisse raus habt

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Ich habe mein Ergebnis korrigiert... 3+6-1+3=11 :)

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Außerdem würd3 mich bei der ersten Aufgabe interessieren, wie du auf

=3\cdot2^{2n}+6\cdot2^{2n}-2^{2n}+3\cdot2^{2n}  kommst, da ich nicht ganz verstehe wie du das zusammengefügt hast und manche Sachen teilweise weggelassen hast. Vielleicht kannst du das noch ein bisschen erklären 

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Schau noch mal bitte, ich habe eine Zeile eingefügt und die Rechnungen etwas kommentiert... hilft dir das weiter?

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Perfekt, jetzt kann ich das schon viel besser nachvollziehen. 
Könntest du das eventuell nochmal für die 2. Aufgabe machen? Das wäre sehr nett und eine große Hilfe :)

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Ich habe dir die zweite Rechnung auch noch kommentiert... ;)

Answer 2

6·2^(2·n - 1) + 3·2^(2·n + 1) - 16·2^(2·n - 4) + 24·2^(2·n - 3)
= 3·2^(2·n) + 6·2^(2·n) - 1·2^(2·n) + 3·2^(2·n)
= (3 + 6 - 1 + 3)·2^(2·n)
= 11·2^(2·n)
= 11·4^n

54·3^(k - 3) + 5·3^(k + 2) - 24·3^(k - 1) - 4·3^(k + 1)
= 2·3^k + 45·3^k - 8·3^k - 12·3^k
= (2 + 45 - 8 - 12)·3^k
= 27·3^k

Comments

Ok. Danke für die Antwort. Mich verunsichert es gerade welche Lösung nun richtig, da ihr verschiedene Endergebnisse raus habt

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.. da ihr verschiedene Endergebnisse raus habt

Wenn du mathematisch etwas begabter wirst, dann würdest du feststellen das die Ergebnisse gleich sind, dass nur die Darstellungsform eine andere ist. Probiere also die Ergebnisse ineinander Umzuwandeln.

Bei Problemen melde dichgerne.