Bestimmen Sie die Grenzwerte der Bruchterme, Wurzeln und Potenzen

Question

Hier sind meine Aufgaben, hoffentlich ihr könnt mir helfen:

Bestimmen Sie:

a) \( \lim \limits_ { n \rightarrow \infty } \frac { 15 n ^ { 3 } + 7 n ^ { 2 } + 10 n + 3 } { 21 n ^ { 3 } + 1000 n } \)

b) \( \lim \limits_ { n \rightarrow \infty } \frac { 13 n ^ { 3 } + 9 n ^ { 2 } + 11 n + 1 } { 25 n ^ { 4 } + 1000 n } \)

c) \( \lim \limits_ { n \rightarrow \infty } \frac { \left( n ^ { 2 } - 1 \right) / ( n + 2 ) ^ { 3 } } { ( n + 1 ) / ( 2 n + 1 ) ^ { 2 } } \)

d) \( \lim \limits_ { n \rightarrow \infty } \frac { n ^ { 2 } } { 2 ^ { n } } \)

e) \( \lim \limits_ { n \rightarrow \infty } \frac { 31 ^ { \frac { n } { 5 } } } { 17 ^ { \frac { n } { 2 } } } \)

f) \( \lim \limits_ { n \rightarrow \infty } \sqrt [ n ] { 2 n } \)

Answer 1

a)
Wir klammern im Zähler und Nenner n^3 aus und kürzen den Bruch durch n^3.
n^3(15 + 7/n + 10/n^2 + 3/n^3) / (n^3(21 + 1000/n^2))
(15 + 7/n + 10/n^2 + 3/n^3) / (21 + 1000/n^2)
Alles wo wir durch n teilen geht gegen 0
15 / 21
Der ganze Bruch geht also gegen 15/21 = 5/7

b)
Hier können wir durch n^3 kürzen
(13 + 9/n + 11/n^2 + 1/n^3) / (25n + 1000/n^2)
Alles wo wir durch n teilen geht gegen 0
13 / (25n)
Der Nenner geht gegen unendlich und 13 geteilt durch unendlich geht gegen 0.

c)
Ich teile durch einen Bruch indem ich mit dem Kehrbruch multipliziere
(n^2 - 1) / (n + 2)^3 * (2n + 1)^2 / (n + 1)
(n + 1)(n - 1) / (n + 2)^3 * (2n + 1)^2 / (n + 1)
(n - 1) / (n + 2)^3 * (2n + 1)^2
(n - 1)(4n^2 + 4n + 1) / (n + 2)^3
(4n^3 - 3n - 1) / (n^3 + 6·n^2 + 12·n + 8)
Auch hier können wir Zähler und Nenner durch n^3 kürzen und erhalten als Grenzwert 4

d)
n^2 / 2^n
Zähler und Nenner gehen gegen unedlich, weswegen wir die Regel von L'Hospital anwenden dürfen.
2n / (2^n * ln2)
2 / (2^n * ln2 * ln2)
Das geht jetzt aber gegen 2/∞ und damit gegen 0.
 
e)
31^{n/5}/17^{n/2}
(31^{1/5} / 17^{1/2})^n
(0.4820)^n
Das geht jetzt gegen 0, wenn der Exponent gegen unendlich geht.

f)
(2n)^{1/n}
e^ln((2n)^{1/n})
e^{(1/n)*ln(2n)}
Wir betrachten jetzt nur mal den Exponenten
(1/n)*ln(2n) = ln(2n) / n
Regel von L'Hospital
1/n / 1 = 1/n
Das geht gegen 0 und damit geht der Exponent gegen 0.
e^0 geht dann gegen 1, weswegen der Grenzwert hier 1 ist.