Zwei Vektoren und Winkel 45 Grad gegeben

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Vektoren a(4/4/2) und b(6/0/z). Wie muss die Koordinate z gewählt werden, damit der Winkel zwischen a und b eine Größe von 45 Grad hat.

Problem/Ansatz: Ich sitze seit was längerem an dieser Aufgabe. Ich habe versucht mir einige Ideen aus der Mathelounge zu holen, jedoch bin ich dabei gescheitert. Könnte mir jemand die Aufgabe lösen? Ich weiß nicht, wie ich das z aus dem Zähler bekommen soll.

 

Answer 1

Stelle die nötige Gleichung auf und Löse sie zur Unbekannten auf:

[4, 4, 2]·[6, 0, z] / (ABS([4, 4, 2])·ABS([6, 0, z])) = COS(45°) --> z = 6/7 ∨ z = 6

[spoiler]

(2·z + 24) / (6·√(z^2 + 36)) = √2/2
2·z + 24 = √2/2·6·√(z^2 + 36)
2·z + 24 = √2/2·6·√(z^2 + 36)
2·z + 24 = 3·√2·√(z^2 + 36)
4·z^2 + 96·z + 576 = 9·2·(z^2 + 36)
4·z^2 + 96·z + 576 = 18·z^2 + 648
18·z^2 + 648 - (4·z^2 + 96·z + 576) = 0
14·z^2 - 96·z + 72 = 0 --> z = 6/7 ∨ z = 6

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Comments

Ich habe nun cos(45)=24+2z/Wurzel46 mal Wurzel36+2z

Was tu ich jetzt?

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Dankeschön, aber wie komme ich im vierten Schritt auf die drei? Müsste ich nicht auf beiden Seiten mal 2 rechnen?

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Du kannst doch 6/2 = 3 miteinander verrechnen, wenn du die Zeile meintest.

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Dankeschön, habe es verstanden. (: