kubische Funktion: Steckbriefaufgabe und Wendepunkt

Question

Aufgabe: Differentialrechnung, Wirtschaftsmathematik Berufskolleg

Aufgabe 4 

Eine ganzrationale Kostenfunktion 3. Grades ist durch folgende Wertetabelle gekennzeichnet:

x in St.	0	1	3	7
K(x) in €	4,5	24	39	57

a) Ermittle die Kostenfunktion?

b) angenommen die Kostenfunktion lautet K(x)= 0,5x^3-6x^2+25x+4,5:

Berechne den Wendepunkt und erläutere die Wendestelle der Kostenfunktion.

Problem/Ansatz: Ich hab die Aufgabe nicht verstanden und weiß nicht genau wie ich es lösen soll. Könnte mir das einer mit Erklärung Lösung und erklären damit ich verstehe wie die Person auf die Lösung drauf gekommen ist und ich es dann auch selber machen kann?

,freue mich mega darauf.:))

Answer 1

a) K(x) = ax^3+bx^2+cx+d

K(0)=4,5

K(1) =24

K(3)= 39

K(7)= 57

b) K''(x) = 0

Wendestelle = Stelle, wo der Kostenanstieg maximal wird, danach nimmt er wieder ab.

Answer 2

Aloha :)

Die Gesuchte ist ein Polynom 3-ten Grades$$K(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$von dem die 4 Punkte \((0|4,5),(1|24),(3|39),(7|57)\) bekannt sind. Aus dem ersten Punkt \((0|4,5)\) folgt sofort:$$4,5=K(0)=d\quad\Rightarrow\quad d=4,5$$sodass wir uns auf die Bestimmung der 3 Parameter \(a,b,c\) bechränken können. Dazu setzen wir die verbliebenen 3 \((x|K(x))\) in die Funktionsgleichung ein und erhalten 3 Gleichungen für die gesuchten Parameter \(a,b,c\):$$\begin{array}{c}24&=&K(1)&=&a&+b&+c&+4,5\\39&=&K(3)&=&27a&+9b&+3c&+4,5\\57&=&K(7)&=&343a&+49b&+7c&+4,5\end{array}$$die wir zu einem Gleichungssystem zusammenfassen, das sich mit dem Gauß-Verfahren lösen lässt:

$$\left(\begin{array}{r}a & b & c & =\\\hline1 & 1 & 1 & 19,5\\27 & 9 & 3 & 34,5\\343 & 49 & 7 & 52,5\end{array}\right)\begin{array}{l}{}\\{}\\{-27\cdot\text{Zeile } 1}\\{-343\cdot\text{Zeile }1}\end{array}$$$$\left(\begin{array}{r}a & b & c & =\\\hline1 & 1 & 1 & 19,5\\0 & -18 & -24 & -492\\0 & -294 & -336 & -6636\end{array}\right)\begin{array}{l}{}\\{}\\{:(-6)}\\{:/-42)}\end{array}$$$$\left(\begin{array}{r}a & b & c & =\\\hline1 & 1 & 1 & 19,5\\0 & 3 & 4 & 82\\0 & 7 & 8 & 158\end{array}\right)\begin{array}{l}{}\\{-1/3\cdot\text{Zeile }2}\\{:3}\\{-7/3\cdot\text{Zeile }2}\end{array}$$$$\left(\begin{array}{r}a & b & c & =\\\hline1 & 0 & -1/3 & -47/6\\0 & 1 & 4/3 & 82/3\\0 & 0 & -4/3 & -100/3\end{array}\right)\begin{array}{l}{}\\{-1/4\cdot\text{Zeile }3}\\{+\text{Zeile }3}\\{:(-4/3)}\end{array}$$$$\left(\begin{array}{r}a & b & c & =\\\hline1 & 0 & -0 & 0,5\\0 & 1 & 0 & -6\\0 & 0 & 1 & 25\end{array}\right)$$Die Kostenfunktion lautet also:$$\underline{K(x)=\frac{1}{2}x^3-6x^2+25x+\frac{9}{2}}$$

Im Aufgabenteil (b) soll der Wendepunkt bestimmt werden, dazu benötigen wir die zweite Ableitung:$$K'(x)=\frac{3}{2}x^2-12x+25$$$$K''(x)=3x-12$$$$K'''(x)=3\ne0\quad\Rightarrow\quad\text{Nullstelle von }K''(x)\text{ ist WP.}$$Offensichtlich ist \(K''(4)=0\), sodass für den WP gilt:$$WP(4|K(4))\quad\text{bzw.}\quad \underline{WP(4|40,5)}$$

~plot~ 0,5x^3-6x^2+25x+4,5 ; [[0|8|0|70]] ~plot~