Aloha :)
Eine Funktion, die symmetrisch zur \(y\)-Achse ist, hat nur gerade Exponenten. Wir wählen daher als Ansatz$$f(x)=ax^4+bx^2+c$$Beachte, dass \(c\) auch einen "geraden" Exponenten hat, denn \(c=c\cdot x^0\) und \(0\) ist gerade. Die Konstante \(c\) erhalten wir sofort aus den Koordinaten \((0|-3)\) des Tiefpunktes, denn$$-3=f(0)=a\cdot0^4+b\cdot0^2+c\quad\Rightarrow\quad c=-3$$Wir haben noch die Koordinaten \((2|-2)\) des Hochpunktes:$$-2=f(2)=a\cdot2^4+b\cdot2^2+c=16a+4b-3\quad\Rightarrow\quad16a+4b=1$$$$\Rightarrow\quad b=\frac{1}{4}-4a$$Bevor wir an die Ableitungen gehen, setzen wir \(b\) und \(c\) in die Funktionsgleichung ein:$$f(x)=ax^4+\left(\frac{1}{4}-4a\right)x^2-3$$Jetzt fehlt uns nur noch \(a\). Das kriegen wir aus der notwendigen Bedinung für den Hochpunkt$$f'(x)=4ax^3+\left(\frac{1}{2}-8a\right)x$$$$0\stackrel{!}{=}f'(2)=4a\cdot2^3+\left(\frac{1}{2}-8a\right)\cdot2=32a+1-16a=16a+1$$$$\Rightarrow\quad a=-\frac{1}{16}$$Die Gesuchte heißt also:$$f(x)=-\frac{1}{16}x^4+\left(\frac{1}{4}+\frac{4}{16}\right)x^2-3$$$$f(x)=-\frac{1}{16}x^4+\frac{1}{2}x^2-3$$
~plot~ -x^4/16+x^2/2-3 ; [[-4|4|-4|0,5]] ~plot~
