Partialbruchzerlegung mit unbestimmten Integralen

Question

Aufgabe:

12. \( \int \frac{x^{2}+3 x-4}{x^{2}-2 x-8} d x=x+\ln \left|(x+2)(x-4)^{4}\right|+c \)

Problem/Ansatz:

Kann ich hier jetzt einfch einen Koeffizientenvergleich machen? Oder muss ich hier eine Polynomdivisn anwenden,  weil die Grade gleich sind ?

Vidlen Dank für die Hilfe

Answer 1

Erst mal Division und dann den Rest mit Partialbruchzerlegung.

Comments

Ok, probiere es aus!

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Text erkannt:

\( \frac{-5 x-4}{x^{2}-2 x-8}=\frac{A}{(x-4)}+\frac{B}{(x+2)} \)
\( -5 x-4=A(x+2)+B(x-4) \)
\( -5 x \cdot 4=A x+2 A+B x-4 B \)
\( -5=A+B \quad-b \quad-10=2 A+2 B \)
\( -4=2 A-4 B \quad-4=2 A-4 B \)
\( -6=6 B \)
\( -1<B \quad A=-4 \)
\( \int 1+4 \cdot \frac{1}{(x-4)}+\left(\frac{13}{(x+2)}\right) \)
\( x+4 \cdot \ln (x-4)-\ln (x+2) \)

Bekomme folgendes , wo ist mein Fehler?

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Ist doch alles richtig, außer dass eine Stammfunktion für 1/x ja ln(|x|) ist.

also hast du

x+4⋅ln(|x−4|)+ln(|x+2|)

=x+ln(|x−4|^4)+ln(|x+2|)

=x+ln(|x−4|^4*|x+2|)

Log-Gesetzte !

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Ist doch alles richtig, ...

Sicher?

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Wieso wird. -4. und -1 positiv bei ln(|x|)?

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Ach das hatte ich gar nicht gesehen mit den falschen Vorzeichen.

Die sind schon oben falsch, der Rest bei der Polynomdivision ist doch

5x+4 nicht minus.

(x^2 + 3x -4) : (x^2 - 2x - 8) =1 
x^2    -2x -8
----------------
         5x  + 4

Damit werden auch A und B positiv.