Berechnung an einer Pyramide

Question

Aufgabe:

Die Kante eines Würfels ist \( 8 \mathrm{cm} \) lang. Diesem Würfel ist eine Pyramide so einbeschrieben, daß ihre Spitze mit dem Mittelpunkt der oberen Würfelfläche zusammenfällt. Die Mittelpunkte der Würfelgrundkanten sind die Ecken der Pyramidengrundfläche.

(a) Berechne die Oberfläche (samt Boden)!

(b) In welchem Verhältnis steht das Würfelvolumen zum Pyramidenvolumen?

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand behilflich sein bei Nr. 4 a und b?

Answer 1

Hallo

1. Schritt: berechnen der Grundseite der Pyramide,:Pythagoras mit dem rechtwinkligen Dreieck aus den halben Würfelkanten.

2. Schneide die Pyramide durch eine Diagonale, die hat als Länge eine Würfelseite, es entsteht ein Dreieck mit der Höhe h=Würfelkante, wieder Pythagoras für die seitenlange der pyramidenkante, jetzt kannst du eine Seitenfläche zeichnen wider Pythagoras, für die Höhe damit kannst du alls Seitenflächen und die Grundfläche ausrechnen und natürlich b) das Volumen.

an die Arbeit!

grüß lul

Answer 2

Hallo,

die Grundseite der Pyramide kannst du mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Beide Katheten haben die Länge 8/2 = 4

Quadriert ergibt das die Bodenfläche. Die Seitenteile der Pyramide sind Dreiecke. Zur Bestimmung der Flächen brauchst du die Höhen, die du ebenfalls mit dem Pythagoras berechnen kannst. Die eine Kathete vom Mittelpunkt der Pyramidenkante zum Mittelpunkt des Bodens, die andere vom Mittelpunkt bis zur Spitze.

Berechne für beide Körper das Volumen und setze sie ins Verhältnis zueinander.

Sollten dir diese Angaben nicht genügen, klicke weiter unten. Aber es bringt dich sicher weiter, wenn du es zunächst alleine versuchst.

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Kantenlänge der Pyramide:

$$k=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\approx 5,66 $$

Fläche des Bodens:

$$(4\sqrt{2})^2=32$$

Höhe der Dreiecksseite:

zunächst der Abstand vom Mittelpunkt der Pyramidenkante bis zum Mittelpunkt des Bodens = \( \sqrt{8} \) = 1. Kathete

2. Kathete vom Mittelpunkt des Bodens bis zur Spitze = 8

$$h=\sqrt{\sqrt{8}^2+8^2}=6\sqrt{2}\approx 8,49$$

Flächeninhalt eines Dreiecks:

$$a=\frac{4\sqrt{2}\cdot 6\sqrt{2}}{2}=24$$ Das mal 4 plus der Boden = 96 + 32 = 128

Volumen Würfel: 8³ = 512

Volumen Pyramide: $$\frac{1}{3}\cdot 32\cdot 8=85,3$$

512 : 85,3 = 6. Das Volumen des Würfels ist also sechsmal so groß.

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