Baumdiagramm mit 3 Wahlmöglichkeiten: Apotheker verkauft 3 Arzneien

Question

Aufgabe:

Die Glocken-Apotheke bietet ihren erkälteten Kunden Hustensaft (H), Kopfschmerztabletten (K) und Nasenspray (N) an, wobei jeder entsprechende Kunde mindestens eines dieser
Produkte erwirbt. Im Folgenden werden nur diese drei Medikamente betrachtet.
Aus Erfahrung weiß der Apotheker, dass unabhängig voneinander 25% der Kunden einen
Hustensaft erwerben und jeder fünfte Kunde Kopfschmerztabletten kauft. Kunden kaufen
zu 60% auch ein Nasenspray, wenn sie mindestens eines der anderen Medikamente erwerben. Der Einkauf eines beliebig herausgegriffenen Kunden wird als Zufallsexperiment
aufgefasst.
1.1 Erstellen Sie ein vollständiges Baumdiagramm und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten aller 7 Elementarereignisse.
[Teilergebnis:P({HKN}) 0,12]

Problem/Ansatz:

Dies ist eine alte Abituraufgabe. Da ich nicht auf die Lösung kam, habe ich mir die Musterlösung angeschaut. In der Lösung wurde ein dreistufiges Baumdiagramm gezeigt mit den Wahrscheinlichkeiten, die in der Aufgabe angegeben sind.

Also zB. P(HKN) = 0,25 * 0,2 * 0,6 = 0,03 entspricht 3%.

Dabei kamen die Wahrscheinlichkeiten heraus, die ich unten als Prozentzahlen im Venn-Diagramm dargestellt habe und insgesamt 100% ergeben. Hier stimmen doch Aufgabenstellung und Lösung nicht überein oder sehe ich das falsch? In der Aufgabe steht, dass 60% der Kunden auch ein Nasenspray kaufen, doch die Lösung zeigt, dass 24% der Kunden ein Nasenspray und mindestens ein anderes Mittel kaufen und 60% nur Nasenspray kaufen. Ich freue mich auf eure Kommentare.

Comments

Leider hat sich bisher keiner für die Aufgabe interessiert. Ich habe daher selbst noch ein wenig geknobelt. Also die Musterlösung geht von einem dreistufigem Baumdiagramm aus mit den angegebenen Wahrscheinlichkeiten von 0,25 für H, 0,20 für K und 0,6 für N. Die erste Sufe ist H und nicht H, dann K und nicht K, zuletzt N und nicht N. Beim letzten Pfad nicht H, nicht K, N wird die Wahrscheinlichkeit für N einfach auf 1,0 erhöht, da man nicht N entfallen lässt, damit man nicht den Fall hat, dass der Kunde gar nichts kauft. Das ist aber m.E. nicht korrekt. So funktionieren die angegebenen Lösungen nur, wenn man die Reihenfolgen der Arzneien einhält.

In Wirklichkeit darf die Reihenfolge der Arzneien aber keine Rolle spielen und man hat natürlich auch den Fall, dass der Kunde nichts nimmt. Wenn man das Urnenmodell zugrunde legt, hat man 3 verschiedene Urnen, wo nacheinander eine Kugel gezogen wird und dementsprechend gibt es 8 Elementarereignisse (ich lasse bei der Aufzählung aus Schreibgründen die nicht gewählten Medikamente weg, obwohl sie bei Berechnung der Wahrscheinlichkeiten natürlich zu berücksichtigen sind). Ich habe meine Wahl mit N beginnen lassen, dann K und zuletzt H.

P(NKH) = 0,03  P(NK) = 0,09   P(NH) =0,12   P(N) = 0,36

P(KH) = 0,02     P(K) = 0,06    P(H) = 0,08   P(nichts gekauft) = 0,24

So komme ich auch die Wahrscheinlichkeiten der Aufgabenstellung, wenn ich die Pfade addiere:

P(N) = 0,60     P(K) = 0,20   P(H) =0,25

Ich hoffe, dass es etwas klarer geworden sit, was ich in der Aufgabenstellung bemängele.

Answer 1

Hallo,

ich weiß nicht, ob ich alle Deine Probleme verstanden habe. Aber mal für den Anfang:

Die Reihenfolge beim Baumdiagramm ist nicht beliebig, weil die Angaben für K und H (absolute) Wahrscheinlichkeiten sind, die Angabe für N aber eine bedingte Wahrscheinlichkeit - nur für den Fall K oder H gilt die Wahrscheinlichkeit von 0.6 für N. Man muss also im Baumdiagramm erst diese Fälle festlegen, bevor man diese Info nutzen kann - es geht also (nur) um die logische Reihenfolge, in der die Infos genutzt werden können.

Zur Aufgabenstellung gehört, dass mindestens ein Präparat gekauft wird, daher die 1 beim Diagrammpunkt (nK und nH).

Wenn Du auf Dein Venn-Diagramm schaust: Die Anteile für H oder K machen zusammen 0.4 aus, davon gehören 0.24 auch zu N. Der Quotient daraus ist gerade 0.6 - was der Angabe in der Aufgabenstellung entspricht.

Dass hier auch der Anteil für N alleine 0.6 ist, ist wohl Zufall und sollte Dich nicht verwirren.

Hoffe, damit kommst Du weiter
Gruß