Partialbruchzerlegung mit Substitution

Question

Aufgabe:

Aufgabe Berechnen Sie \( \int_0^1 \frac{1}{\left(1+y^{2}\right)^{2}} d y \) unter Verwendung der Substitution \( y=\varphi(x)=\tan (x) \).

Drücken Sie den Integranden nach der Substitution mit \( \cos (x) \) aus und verwenden Sie die Methode der partiellen Integration.

 Wie fahre ich weiter fort?

Answer 1

Hallo

 lesen sollte man können! Da steht: drücken sie den Integralen durch cos(x) aus. wo ist der bei dir?

ersetze tan durch sin/cos und erweitere den Bruch mit cos^2(x)

Dann noch mal richtig lesen, da steht NICHT Partialbruchzerlegung, sondern partielle Integration!

 also aufs Neue! und bemühe dich um Lesekompetenz!

Gruß lul

Answer 2

Folge doch dem Hinweis:

Nach der Substitution alles durch cos ausdrücken, also auch 1/cos(x)^2 als Abl. von tan nehmen,

das gibt erst mal ohne Grenzen

$$\int_{}^{} \frac{1}{(1+\frac{sin(x)^2}{cos(x)^2})^2}*\frac{1}{cos(x)^2}dx =\int_{}^{} \frac{1}{(\frac{cos(x)^2+sin(x)^2}{cos(x)^2})^2}*\frac{1}{cos(x)^2}dx =\int_{}^{} \frac{1}{(\frac{1}{cos(x)^2})^2}*\frac{1}{cos(x)^2}dx =\int_{}^{} cos(x)^2dx $$

Das gibt mit partieller Integration sin(x)*cos(x)/2  +   x/2

Und die Grenzen hattest du ja schon transformiert: von 0 bis pi/4,

also Ergebnis pi/8 + 1/4 .