Bakterienwachstum und Exponentialfunktionen: Wie viele Zellen sind dann in der Kultur vorhanden?

Question

Eine Bakterienkultur bestehe aus einer Milliarde Zellen, die sich alle 20 Minuten teilen. Eine Zelle in dieser Kultur erwirbt durch Mutation die Eigenschaft, sich schneller zu teilen. Ihre Generationsdauer betrage nach der Mutation nur noch 15 Minuten.

i. Wie lange dauert es bis die Nachkommen der mutierten Zelle in der Kultur vorherrschen unter der Annahme, dass weder Nahrurgslimitationen noch Schadstoffanreicherurgen noch Zelltod vorkommen?

ii. Wie viele Zellen sind dann in der Kultur vorhanden?

iii. Wie viel würden die Bakterienzellen zusammen wiegen, wenn man annimmt, dass eine Bakterium \( 10^{-12} \mathrm{~g} \) wiegt? Wie plausibel ist deshalb die Annahme, dass weder Nahrungslimitation noch Schadstoffanreicherurg eine Rolle spielen?

Schätze zunächst, wie groß der unter (i) gefragte Zeitraum sein könnte (einge Stunden, einen Tag, eine Woche, einen Monat ...).

Answer 1

i)

1000000000·2^{x/20} = 1·2^{x/15}
2^{x/15}/2^{x/20} = 1000000000
2^{x/15 - x/20} = 1000000000
2^{x/60} = 1000000000
x = ln(1000000000)/ln(2) * 60 = 1793.841171 min = 29.90 h

Nach 30 Stunden herrscht die mutierte Zelle vor.

Probier den Rest mal alleine. 

Comments

Ich würde mich freuen wenn du dir meine Antworten auf die anderen Fragen einmal durchgucken kannst:

1793,84 min: die Mutation hat sich ca. 119 mal geteilt die anderen Bakterien ca. 89 mal.

1 000 000 000·2^{119 bzw. 89} ⇒ 1005519763454884500000000000000000000+664613997892457936451903530140172288000000000

=664613998897977699906788030140172288000000000

 

Aber das kann ja nicht stimmen denn bei 1793,8 min sollen die Bakterien Anzahlen der beiden Varianten ja ungefähr gleichgroß seinen oder ist der die Mutierte-Variante schon nach einer verdopplung mehr so viel größer als die andere?

Ich nehme mal an das ich eine falsche Formel aufgestellt habe... aber wie mache ich das richtig?

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1000000000·2^{1793.841171/20} = 9.999999918·10^35

1·2^{1793.841171/15} = 9.999999890·10^35