Formale Definition von Matrix

Question

Leute!

Ich habe kein Hausaufgaben-Problem, sondern verstehe ich nicht ein Element aus einem Teil der Matrixdefinition.

Wir haben eine lineare Funktion f: Kⁿ -> K^m eingeführt, mit den jeweiligen kanonischen Basen (e₁, ... , e_n von Kⁿ; bzw. d₁, ... , d_m von K^m).

Die Funktion ist durch f(e_i)=w_i eindeutig bestimmt. Und hier kommt das Problem:

"Ausserdem kann man eindeutig w_i=∑a_ji*d_j schreiben für j=1 bis m. Dann bestimmen die a_ji, i ∈ {1, ... , n}, j ∈{1, ... , m} die Abbildung f eindeutig."

Ich kann nicht verstehen, wieso hier a mit Index "ji" steht und dann a mit d mit dem Index "j" multipliziert wird?

Ich habe mir Gedanken gemacht, aber ich kann es mir nur so vorstellen, als wir eine Spalte a_j1 (z.B.) mit d₁: 

-> a₁₁d₁+a₂₁d₂+ ... + a_m1d_m bekommen - das sieht so aus, als hat man die Zeilen (und nicht i-te Spalte * i-te Zeile) miteinander multipliziert. Ich kann die Operation mit der Basis des anderen Raumes nicht verstehen.



Grüße,
M

Answer 1

hi! ^^ :-)

hier wird nicht a mit d mit dem index j multipliziert,
aji ist die kurzschreibform für eine matrix.
das hat den hintergrund:
elemente aus der menge K^n werden in die menge K^m abgebildet.
man nimmt einen vektor aus K^n, wirft ihn in die matrix und
bekommt einen vektor aus K^m.
dafür muss die matrix m zeilen und n spalten haben, damit
die matrixmultiplikation definiert ist, wir brauchen hier ne
Mmn matrix mit der wir die abbildung beschreiben können.
K^n kann man auch als matrix so schreiben: Mn1
und K^m so: Mm1
dann sieht die matrixmultiplikation salopp formuliert so aus:
Mmn * Mn1 = Mm1

die matrix Mmn = (aji) hat also so viele zeilen, wie die anzahl
der basisvektoren aus K^m und so viele spalten wie die anzahl der
baisvektoren aus K^n. und mit dieser matrix mit baisvektoren aus
K^m lässt sich wiederum jedes element wi aus K^m abbilden.
so in etwa kann man den term wi=∑aji*dj formulieren.

gruß
    gorgar