Punktsymmetrie/Parallelverschiebung = lineare abbildung?

Question

Aufgabe:

Wann ist eine Punktsymmetrie bzw. eine Parallelverschiebung eine lineare Abbildung?

Problem/Ansatz:

Also prinzipiell müssen ja zwei Sachen gelten:

1) f(x+y)=f(x)+f(y)

2) f(ψ*x) = ψ*f(x)

für x,y € V (irgendein Vektorraum)

und ψ € ℝ

Jetzt hab ich aber das Problem, dass ich bereits für die Parallelverschiebung keine wirkliche Bedingung finde, damit sie linear ist.

weil wenn ich zb. f(x) = x+2

setze gilt für f(1+1)=f(2)=4 aber für f(1)+f(1)=3+3=6

damit würde 1) schon mal nicht funktionieren.

mfg & danke im voraus!!

Answer 1

Sowas wie  f(x) = x+2 von ℝ nach ℝ ist keine lineare Abbildung.

Nimm mal "mal" statt "plus", das klappt.

Comments

Da hast du natürlich absolut recht, sorry,

Trotzdem weiß ich jetzt nicht wirklich wie ich aus einer Parallelverschiebung (Translation) eine lineare Abbildung machen soll bzw. unter welchen Bedingungen eine ebensolche eine lineare Abbildung ist.

Weil bei einer Translation handelt es sich ja um eine Abbildung, welche ein Gerade g auf eine zu g parallelen Gerade h abbildet.

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Von den Parallelverschiebungen ist nur die 0-Verschiebung linear.

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Ok das würd ich dann zeigen, in dem ich die beiden oben genannten Eigenschaften für f(x)= x+0 überprüf oder?

Vielen dank