LGS bei Lagebeziehung Punkt Ebene in Parameterform

Question

Liebe Lounge,

bitte helft mir bei folgender Frage:

Wenn ich die Lagebeziehung von Punkt und Ebene überprüfe und die Ebene in Parameterform vorliegt (soll auch nicht umgewandelt werden).

Ich erhalte ja jetzt ein LGS mit 3 Gleichungen und 2 Unbekannten. Jetzt zu meiner Frage:

 Der Punkt liegt nun entweder in der Ebene (dann hat das LGS eine eindeutige Lösung) oder aber nicht auf der Ebene, dann führt das LGS zu einem Widerspruch.

Nun ist mit klar, dass es nicht unendlich viele Lösungen geben kann für das LGS, da wir dann, wenn die abhängigen Parameter in die Gleichung der Ebene einsetzen, eine Gerade herausbekommen. Das ergibt keine Sinn.

Wieso kann man das aber bei der Lagebeziehung ausschließen? Die Gleichungen müssen ja dann eine bestimmte Form haben und dürfen keine Vielfachen voneinander sein.

Wieso ist das bei der Punktprobe erfüllt?

Danke !!!

Comments

Ist es so, dass dann die Spannvektoren der Ebene kollinear wären? Und das ist per Definition ausgeschlossen !?

Answer 1

Die Gleichungen müssen ja dann eine bestimmte Form haben und dürfen keine Vielfachen voneinander sein.

Das sind sie weil die Richtungsvektoren der Ebene keine Vielfachen voneinander sind.

Comments

Wäre der Beweis dafür so I.O.?

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Oder geht es auch viel einfacher?

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Seien \(\vec u\), \(\vec v\), \(\vec w\) Vektoren, so dass \(\vec u\) und \(\vec w\) nicht koliniar sind.

Ferner seien \(r_1\), \(s_1\), \(r_2\), \(s_2\) reelle Zahlen mit

(1)        \(\vec v = r_1\cdot \vec u + s_1\cdot \vec w\)

und

(2)        \(\vec v = r_2\cdot \vec u + s_2\cdot \vec w\).

Subtrahiert man (2) - (1), dann erhält man

        \(\vec 0 = (r_2 - r_1)\cdot\vec u + (s_2-s_1)\cdot\vec w\).

was sich umformen lässt zu

        \((r_1-r_2)\cdot \vec u = (s_2-s_1)\cdot\vec w\).

Wäre nun \(r_1-r_2 \neq 0\), dann wären \(\vec u\) und \(\vec w\) koliniar, was der Voraussetzung widersprechen würde, dass \(\vec u\) und \(\vec w\) nicht koliniar sind. Also muss

        \(r_1-r_2 = 0\)

sein. Also ist \(r_1 = r_2\). Analog dazu zeigt man, dass \(s_1 = s_2\) ist. Die Gleichung

        \(\vec v = r\cdot \vec u + s\cdot \vec w\)

ist also eindeutig lösbar.

Ob das einfacher als dein Weg ist, möchte ich nicht beurteilen. Jedenfalls erfordert er nicht, dass Vektoren aus genau drei Komponenten bestehen.

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Was du nach "Angenommen das LGS hat unendlich viele Lösungen" sagst, das gilt auch dann, wenn das LGS nur eine einzige Lösung hat.

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Test:

gelöscht.

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Was du nach "Angenommen das LGS hat unendlich viele Lösungen" sagst, das gilt auch dann, wenn das LGS nur eine einzige Lösung hat.

Geometrisch gesehen bedeutet das doch, dass die drei Geraden aufeinander liegen also identisch sind.

Da ist doch bei einer einzigen Lösung nicht der Fall?

Warum sollten dann die Gleichungen Vielfache voneinander sein?