∑[√(n+1)-√n]/√n Konvergenz Reihe

Question

Ich habe bisher:

∑[√(n+1)-√n]/√n erweitert man zur 3. binomischen Formel und dann erhält man ∑1/√n*[√(n+1)+√n].

Und dann komme ich nicht mehr weiter. Ich habe durch diverse Abschätzungen versucht zu zeigen, dass das divergiert, aber ich finde immer nur eine größere Reihe, die divergiert und keine kleinere.... Wäre für schnelle Hilfe dankbar, verzweifel gerade an der Aufgabe!

Answer 1

$$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n+1-n}{\sqrt{n^{2}+n}+n}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}+n}}\geq \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}}$$

Da \(\sqrt{n^{2}+n}\) > 0 wird der Bruch größer, wenn der Nenner kleiner wird, damit hast du eine Divergente Minorante

Comments

Aber der Nenner links ist doch größer als der rechts. Dann müsste das Zeichen doch anders herum, oder nicht? Und dann ginge das wieder nicht auf. Kann aber auch sein, dass mein Gehirn durch dir später Uhrzeit schon Matsche ist und ich das daher nicht verstehe.....

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ja sorry das war Unsinn, bin mir aber fast sicher, dass die Reihe divergiert, denn weder Quotienten, noch Wurzelkriterium funktioniert

ich denk nochmal drüber nach

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$$\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}+n}>\frac{1}{\sqrt{(n+1)(n+1)}+n}=\frac{1}{2n+1}$$

und die Reihe darüber sollte divergent sein

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Vielen Dank für deine Hilfe!!! Vor allem weil es ja schon so spät war....