Konvergenzradius einer Taylorreihe zu gegebenen Polynom

Question

Hi,

brauche mal eure Hilfe!

Bestimme den Konvergenzradius der Taylor-Reihe von $$ \frac { 1 }{ 1+x+{ x }^{ 2 }+{ x }^{ 3 }+{ x }^{ 4 } } $$ um x₀ = 0, x₀ =1, x₀ =2.

Also, man kann $$ \frac { 1 }{ 1+x+{ x }^{ 2 }+{ x }^{ 3 }+{ x }^{ 4 } } $$ ja umformen zu $$ \frac { 1-x }{ 1-{ x }^{ 5 } } $$.

Wenn ich jetzt eine Taylorentwicklung um x₀ =0 mache, komme ich auf $$ 1-{ x }+{ x }^{ 5 }-O({ x }^{ 6 }) $$.

Wie kann man jetzt den Konvergenradius berechnen?

Answer 1

Soviel ich weiß muss f(x) beliebig oft differenzierbar sein, damit eine Taylorreihenentwicklung möglich ist. Das ist hier ja gar nicht der Fall. Hier könntest du Pi mal Daumen vier mal differenzieren. Die Genauigkeit der Annäherung dürfte nicht gerade zufriedenstellend sein. Da kannst du den Polynombruch ja gleich so lassen wie er ist!