anhand der Definitionn zeigen 1/g ist bei a differenzierbar

Question

Sei g: D→ℝdifferenzierbar bei a, wobei a∈ D innerer Punkt, sei g(x)≠ 0 für alle x ∈ D.

Wir können dann die Funktion 1/g : D→ℝmit (1/g) (x)= 1/g(x) bilden.

Zeigen Sie anhand der Definition: 1/g ist bei a differenzierbar, mit

(1/g)´ (a) = - g´(a)/ (g(a))² .

Hierbei müssen Sie in einem Schritt (unter anderem) benutzen, dass g bei a stetig (da differenzierbar) ist. Kennzeichnen Sie diesen SChritt !

(Wir sollen das also mit der h-Methode machen)

Answer 1

$$\small\frac{\frac1{g(a+h)}-\frac1{g(a)}}h=\frac{g(a)-g(a+h)}{h\cdot g(a)\cdot g(a+h)}=-\frac1{g(a)\cdot g(a+h)}\cdot\frac{g(a+h)-g(a)}h.$$Die Behauptung folgt nun durch Grenzübergang \(h\to 0\).