exponentielle prozesse, modell

Question

Aufgabe:

Ein Wasserbecken im Ferienclub ist im oberen Bereich rechteckig. Der untere Teil, in dem eine Poolbar geplant ist, wird begrenzt durch die Funktion f(x)=-10*x*e^(-x*-1).

A) wie lang ist der rechte Beckenrand? Zeigen sie, dass der obere Beckenrand ca. 46m lang ist.

B) an welcher Stelle ist die vertikale Ausdehnung des Beckens am größten?

C) wie viele Quadratmeter Fliesen werden für den Beckenboden benötigt? Zeigen Sie zunächst, dass die Funktion F(x)= 10(x+1)*e^(-x-1) Stammfunktion von f ist.

Problem/Ansatz:

A) ? :/

B) ?

C) Ableitung bilden 

Text erkannt:

\( \frac{1}{1}+\frac{1}{1} \)

Comments

Ist das der Grundriss des Pools?

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Der Pool sieht so aus

Answer 1

a1) Wie lang ist der rechte Beckenrand?

3 - f(4) = 3.270 LE = 32.70 m

a2) Zeigen sie, dass der obere Beckenrand ca. 46 m lang ist.

f(x) = 4 → x = -0.5980
4 + 0.5980 = 4.5980 LE = 45.98 m

c) An welcher Stelle ist die vertikale Ausdehnung des Beckens am größten?

f'(x) = e^(-x - 1)·(10·x - 10) = 0 → x = 1 LE = 10 m

c) Wie viele Quadratmeter Fliesen werden für den Beckenboden benötigt? Zeigen Sie zunächst, dass die Funktion F(x) = e^(-x - 1)·(10·x + 10) Stammfunktion von f ist.

F(x) = e^(-x - 1)·(10·x + 10)
F'(x) = -e^(-x - 1)·(10·x + 10) + e^(-x - 1)·(10) = e^(-x - 1)·(-10·x) = -10·x·e^(-x - 1)

∫ (-0.5980 bis 4) f(x) dx = F(4) - F(-0.5980) = 0.3369 - 2.689 = -2.3521

4.5980·4 - (-2.3521) = 20.74 FE = 2074 m²

Comments

Hey lieber Mathecoach :)

Ich sitze auch an der Aufgabe und verstehe den Rechenweg zu a2) nicht. Kannst du es vielleicht schrittweise erklären?

Ich habe jetzt f(x)=4 gesetzt und für f(x) die Gleichung eingesetzt:

-10x*e^(-x-1)=4

Jetzt weiß ich nicht, wie ich nach x umstellen soll :(

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a2) Zeigen sie, dass der obere Beckenrand ca. 46 m lang ist.

Ich habe hier die Bestimmungsgleichung genommen und numerisch das x gelöst. Damit erhält man das exakte x. Das brauchst du aber eigentlich nicht machen, weil die Aufgaben nur die zu Zeigen das der obere Beckenrand ca. 46 m lang ist. Damit darfst du die 46 benutzen.

Damit brauchst du nur die Umkehrung zeigen, dass

f(-0.6) ≈ 4 gilt.

Das solltest du einfach hinbekommen oder? Je nach Taschenrechner ist der andere Weg allerdings auch nicht so schwer, daher hatte ich mich hier für den Weg entschieden.

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Und könntest du netterweise noch einmal erklären wie du es genau gelöst hast? Bzw. was du mit dem anderen weg der Umkehrung meinst?

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Du berechnest einfach

46 m sind in der Skizze 4.6 LE

Du berechnest

f(-0.6) = -10·(-0.6)·e^(-(-0.6) - 1) = 4.022

Das sind also auch ungefähr 4 m. Damit hast du gezeigt das die obere Begrenzung von ca. -0.6 bis 4 geht und damit in der Realität einer Länge von 46 m entspricht.

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Ahh vielen Dank!

Wie wäre denn der rechenweg, wenn ich es (wie du) numerisch mit der bestimmungsgleichung löse? Für meine anstehende Klausur wäre dieser sehr hilfreich :)

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Eigentlich hatte ich eher das Gefühl ihr habt das im Unterricht noch nicht gemacht.

Grundsätzlich kannst du eine Wertetabelle machen. Da du eigentlich an der Skizze schon eine Lösung im Bereich -1 und 0 erkennen kannst machst du hier eine Wertetabelle

f(x) = -10·x·e^(-x - 1)

[-1, 10;
-0.9, 8.143536762;
-0.8, 6.549846024;
-0.7, 5.185727544;
-0.6, 4.021920276;
-0.5, 3.032653298;
-0.4, 2.195246544;
-0.3, 1.489755911;
-0.2, 0.8986579282;
-0.1, 0.4065696597;
0, 0]

Du erkennst das die Lösung genauer im Intervall -0.6 bis -0.5 liegen muss weil 4 ja irgendwie zwischen 5.186 und 4.022 liegt. Also machst du da erneut eine genauere Wertetabelle

[-0.6, 4.021920276;
-0.59, 3.915536475;
-0.58, 3.810871554;
-0.57, 3.707901839;
-0.56, 3.606603958;
-0.55, 3.506954833;
-0.54, 3.408931685;
-0.53, 3.312512021;
-0.52, 3.217673637;
-0.51, 3.124394610;
-0.5, 3.032653298]

Du siehst eine Lösung im Intervall -0.6 und -0.59 und kannst wiederum in dem bereich eine genauere Wertetabelle machen

[-0.6, 4.021920276;
-0.599, 4.011203865;
-0.598, 4.000504859;
-0.597, 3.989823232;
-0.596, 3.979158962;
-0.595, 3.968512024;
-0.594, 3.957882394;
-0.593, 3.947270048;
-0.592, 3.936674962;
-0.591, 3.926097113;
-0.59, 3.915536475]

Wenn dir jetzt die -0.598 mit der Genauigkeit genügt kannst du aufhören. Ansonsten machst du so lange weiter bis du eine Genauigkeit hast die dir langt.

Es gibt noch andere Verfahren wie das Newton-Verfahren. Dieses Verfahren nutzt der Taschenrechner wenn er solche Gleichungen lösen kann. Das Verfahren lernt ihr eventuell Später auch noch. Das ist abhängig vom Kurs und vom Lehrer.

Eventuell Langt es dem Lehrer auch wenn ihr den Taschenrechner bedienen könnt und euch die Lösung ausrechnen lassen könnt.

Wie es der Lehrer gerne hätte könnt ihr mit ihm besprechen.

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Ahh jetzt verstehe ich, was du mit der Rechnung meintest. Ja das stimmt, dann ist der andere weg leichter und besser.

Ich hatte nämlich (wie du es ganz oben auf der Website geschrieben hast) f(x)=4 gesetzt und dann für f(x) die Gleichung eingesetzt. Dann stand bei mir:

-10x*e^(-x-1)=4

Und damit war ich gestern nicht weitergekommen. Ist das dann der falsche Ansatz gewesen?

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Der Ansatz

- 10·x·e^(-x - 1) = 4

ist völlig korrekt. Das kann man algebraisch leider nicht lösen und braucht daher hier ein numerisches Verfahren.

Aber wie gesagt. Achte auf die genaue Aufgabenstellung. Wenn du nur zeigen sollst das etwas eine Lösung ist dann darfst du diese Lösung für die Rechnung verwenden und musst nicht unbedingt diese Lösung ausrechnen.

Z.B. wenn mal in einer Aufgabe verlangt wird das du zeigen sollst das F(x) eine Stammfunktion zu f(x) ist, dann musst du nicht f(x) integrieren um auf F(x) zu kommen. Es langt F(x) in diesem Fall einfach abzuleiten und so zu zeigen das f(x) heraus kommt.

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Okay super vielen Dank! Das hat mir sehr weitergeholfen, gerade auch, um die Zusammenhänge hinter der Aufgabe zu verstehen!

Gibt es Möglichkeiten Dich/Sie auch für weitere Aufgaben zu kontaktieren? Es geht mir immer um den Rechenweg und nicht um das Ergebnis, weil ich gerne verstehen möchte, wie man das ganze löst!

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Ich verstehe b) nicht ganz.

An welcher Stelle ist die vertikale Ausdehnung des Beckens am größten

Was genau ist damit gemeint?

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Fehlt bei c) nicht noch der Flächeninhalt des Rechtecks im 1. Quadranten? Weil wir ja nur den Bereich links der x-Achse von 0,6 bis 0 und unterhalb der x-Achse berechnet haben oder?

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Ich verstehe b) nicht ganz.
An welcher Stelle ist die vertikale Ausdehnung des Beckens am größten
Was genau ist damit gemeint?

Die vertikale Ausdehnung ist die Länge in y-Richtung hier.

Wenn du also mal in das Becken lauter senkrechte Linien einzeichnest. An welcher Stelle x ist diese Linie am Längsten.

Nimm mein obiges Bild. Da sind schon Linien eingezeichnet.

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Also einfach der Tiefpunkt der Funktion richtig? :)

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Also einfach der Tiefpunkt der Funktion richtig? :)

Genau. Allerdings kommt es hier nur auf die x-Koordinate an. Die y-Koordinate brauchst du nicht.