Wie fasse ich diesen Term zusammmen: a(a-b)^{n-1} - b(a-b)^{n-1}

Question

a(a-b)^n-1-b(a-b)^n-1

 

Als Ergebnis sollte (a-b)ⁿ herauskommen, aber kann mir jemand den Lösungsweg zeigen?

Answer 1

Hier greifen die Potenzgesetze.

Erstmal kann ich was ausklammern, wenn in beiden Termen dasselbe steht (hier: (a-b)^n-1):

 

(a-b)^n-1(a-b)¹

Da (a-b) die selbe Basis ist, addieren sich die Potenzen bei Mulitiplikation der Basen.

(a-b)^n-1+1 = (a-b)ⁿ

Comments

Aber hast du nicht die Punkt vor Strichregel vergessen?

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Ich sehe da keine Verletzung der mathematischen Kunst, denn Ausklammern ist nicht verboten .-)

Dass man es auch ausführlicher machen kann, sieht man in den anderen Antworten und Kommentaren.

Viele Wege führen nach Rom.

Answer 2

Das Zauberwort heisst Faktorzerlegung

der 1. Ausdruck a(a-b)^n-1 ist  das gleiche wie a·a^n-1 -a·b^n-1

der 2. Ausdruck b(a-b)^n-1 ist das gleiche wie b·a^n-1-b·b^n-1

 

Zusammengefasst sieht das dan so aus a·a^n-1 -a·b^n-1+b·a^n-1-b·b^n-1

Und nun heisst es wieder gleiches zu gleichem -a·b^n-1+b·a^n-1  diese Potenzen heben sich gegenseitig auf da der Wert einmal positiv und einmal negativ ist.

 

Ueber bleiben a·a^n-1-b·b^n-1     Hier wird der Ausdruck a^n-1 mit a (also wieder mit sich selbst) multipliziert

a·a^n-1=a^n-1+1= aⁿ

Das gleiche passiert bei b auch und somit erhalten wir aⁿ-bⁿ=(a-b)ⁿ

Comments

sorry dass ich störe kann mir jemand meine Fragen beantworten

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a(a-b)^n-1- b(a-b)^n-1

=a·a^n-1 -a·b^n-1+b·a^n-1-b·b^n-1

=a·a^n-1-b·b^n-1

=a^n-1+1-b^n-1+1

=aⁿ-bⁿ

=(a-b)ⁿ