Berechnen Sie alle z ∈ C für diese Beziehungen

Question

Aufgabe:

in (i) soll das zweite z ein Komplement sein, also (a-bi).

(i) |z| + 2z = −3 + 6i,

in (ii) soll das zweite z auf der rechten Seite ebenfalls ein Komplement sein.

(ii) |z + i| ≤ |2z + z|.

Problem/Ansatz:

ich habe bei (i) für z = a +bi eingesetzt und für das Komplement (a-bi) eingesetzt, dann den Betrag aufgelöst.

a²+b²+2a-2bi = -3+ 6i

Nun müsste ich ja eigentlich den reellen und komplexen Teil zusammenfassen können. 

(a²+2a)-(2b+b²)i = -3 +6i

Und jetzt weiß ich nicht weiter.

Bei (ii) habe im Prinzip das Gleiche getan. 

Da komme ich auf b² + 2b + 1 ≤ 8a²  bzw. (b+1)² ≤ 8a²

Stimmt das soweit? Ich habe hierzu leider keine Lösungen.

Comments

Hallo,

bei (i) hat Du übersehen, dass der Betrag \(z\) die Wurzel aus \(a^2+b^2\) ist. Du musst also die Wurzel auf einer Seite isolieren und dann quadrieren.

Bei (ii) ist die rechte Seite:

$$|2z+\bar{z}|=|3a+bi|=\sqrt{9a^2+b^2}$$...

Gruß

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Ok, bei (i) komme ich nicht weiter. 

da komme ich auf

a² + b² = -25 + 12a + 4a² + 24b +4b²

bzw.

-3a² - 3b² = -25 +12 a + 24b

Bei (ii) komme ich mit Deiner Hilfe auf

2b +1 ≤ 8a²

Ist das Richtig?

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Hallo

a² + b² = -25 + 12a + 4a² + 24b +4b²

scheint mir ziemlich falsch, ausserdem fehlt eine zweite Gleichung, was ist mit dem Imaginärteil?

zeig doch deine Rechenschritte !

auch bei b komm ich auf ein anderes Ergebnis

a^2+(b+1)^2<= (3a)^2+(2b-1)^2 führt bei mir nicht zu deinem Ergebnis.

Gruß lul

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bei (i) dachte ich, dass ich durch das auflösen  der Wurzel die komplette Seite quadrieren muss.

|(a+bi)| - 2(a-bi) = -3i + 6i

|(a+bi)| = (-3i + 6i) - 2(a-bi)

√(a² + b²) = (-3-2a) + (6 -2b)i

(a² + b²) = (9+12a+4a²) + (36-24b+4b²)*(-1)

a² + b² = -25 + 12a + 4a² + 24b +4b²

(ii)

|(a+bi)+i| ≤ |2(a+bi)+(a-bi)|

|a+(b+1)i| ≤ |3a+bi|

√(a²+(b+1)²) ≤ √(9a² + b²)

a²+b²+2b+1-b² ≤ 8a²

a²+2b+1 ≤ 8a²

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(i) vielleicht so:
\(\sqrt{a^2+b^2}+2(a-b\mathrm i)=-3+6\mathrm i\\\sqrt{a^2+b^2}=(-2a-3)+(2b+6)\mathrm i.\)
Koeffizientenvergleich liefert
\((1)\quad\sqrt{a^2+b^2}=-2a-3\\(2)\quad0=2b+6.\)
Aus (2) folgt unmittelbar \(b=-3\). In (1) einsetzen und nach \(a\) auflösen.

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Hallo aekb

du solltest richtig quadrieren! (a+b)^2≠a^2+b^2

 aber inzwischen hast du ja die richtige Lösung

lul

Answer 1

Hallo,

damit die offene Frage geschlossen wird, beende ich dann mal (ii)

Dein Ergebnis  2b+1 ≤ 8a²  ist richtig.

  →  L = { z = a+bi ∈ ℂ |   b  ≤  4a² - 1/2 }

In der Gaußschen Zahlenebene sind das alle komplexen Zahlen z, die auf oder unterhalb der Parabel  b = 4a² - 1/2 liegen:

Gruß Wolfgang