Vektoren | Pyramide Steigungswinkel

Question

Aufgabe: Ich habe die Punkte  einer Geraden Quadratuschen Pyramide : A(0/0/0) B(0/100/0) C(-100/100/0) D(-100/0/0) und die spitze S (-50/50/50)

Zudem habe ich auch noch einen Punkt der auf der BS strecke liegt der Punkt P(-10/90/10) Die strecke AP zeigt eine Rampe.

Die anschließende Rampe soll den gleichen Steigungswinkel besitzen. Wie lauten die gleichungen der entsprechenden Geraden und in welchem Punkt Q endet die Rampe? Q liegt auf der strecke CS

Wie komme Q , ich weiß es einfach nicht bzw. komme da nicht drauf

Comments

Hallo

"Die strecke AP zeigt eine Rampe." steht das da wirklich, eine Rampe ist doch keine Gerade?

 AP hat gegen die Grundebene den Winkel  tan(a)=50√2/100 aber wo jetzt ne Rampe hin soll? und was hat das mit P zu tun?

warum immer Übersetzungen in deine Interpretation und nicht die Originalaufgabe?

lul

Answer 1

So sieht das von oben aus:

P kennst du schon.

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Ich weiß aber wie komme ich auf Q

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Wie lang ist in meiner (ebenen) Darstellung PQ? Auf dieser Strecke werden 10 m Höhenunterschied gewonnen. Damit kennst du die Steigung. Das ist auch die Steigung auf der Strecke PQ und Q(-r|r) führt zur Länge der roten Strecke PQ. Damit gewinnst du eine Bestimmungsgleichun für r.

Damit kannst du Q auf der Strecke CS bestimmen.

Answer 2

Die Aufgabe ist u.a. aus dem Schulbuch von Bigalke/Köhler.

c)
Steigung von AP
TAN(α) = 10/√(10^2 + 90^2) = 1/√82

Richtungsvektor PQ
([-100, 100, 0] + r·[50, -50, 50]) - [-10, 90, 10] = [50·r - 90, 10 - 50·r, 50·r - 10]

Steigung von PQ
(50·r - 10)/√((50·r - 90)^2 + (10 - 50·r)^2) = 1/√82 → r = 0.36

Q bestimmen
Q = [-100, 100, 0] + 0.36·[50, -50, 50] = [-82, 82, 18]

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@lul: IMHO ist die Aufgabenstellung vollständig.

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Vielen herzlichen dank, war verzweifelt

Answer 3

Hallo Torsten,

es gibt noch eine relativ einfache Möglichkeit den Punkt \(Q\) zu berechnen. Wenn \(\vec{PQ}\) die gleiche Steigung haben soll wie \(\vec{AP}\) dann kann man direkt den Vektor \(\vec{AP}\) als Richtungsvektor verwenden, wenn man ihn nur um 90° um die Vertikale dreht. Die Flächen der Pyramide sind ja auch nur jeweils um 90° zueinander gedreht. Die Drehung erfolgt indem man für den X-Wert des neuen Vektors den negativen Y-Wert des Originals und für den Y-Wert den X-Wert einsetzt. Die Z-Koordinate bleibt natürlich erhalten$$\vec{AP} =  \begin{pmatrix} -10\\ 90\\ 10 \end{pmatrix} \implies r = \begin{pmatrix} -90\\-10\\ 10 \end{pmatrix}$$\(r\) ist nun ein Vektor, der von \(P\) aus in Richtung \(Q\) zeigt. Wir müssen also nur noch den Schnittpunkt der Geraden$$g: \space x = P + s \cdot r \\ h: \space x = C + t \cdot \vec{CS}$$ berechnen. Das führt zu folgendem Gleichungssystem$$\begin{pmatrix} -90\\-10\\10 \end{pmatrix} s - \begin{pmatrix} 50\\-50 \\ 50 \end{pmatrix} t = C - P = \begin{pmatrix} -90\\ 10\\ -10 \end{pmatrix} $$Mit der Lösung \(s=0,8\) und \(t=0,36\). Damit ist dann$$Q = g(s=0,8) = \begin{pmatrix} -82\\82\\ 18 \end{pmatrix}$$Und zur Kontrolle nochmal im Geoknecht3D im Maßstab 1:10:

(klick auf das Bild)

Gruß Werner