Warum kommt hier immer die falsche Determinante raus?

Question

Hallo, könnt ihr vielleicht sagen, was hier schief gelaufen ist. Eigentlich müsste (1−a)·(3−c) herauskommen:

$$det(A)=det\begin{pmatrix} a & 1 &b&2\\ 0 & 0 &c&3 \\1 & 1 &1&1\\ 0 & 0 &1&1 \end{pmatrix}=-det\begin{pmatrix} a & 1 &b&2\\ 1 & 1 &1&1 \\0 & 0 &c&3\\ 0 & 0 &1&1 \end{pmatrix}=-acdet\begin{pmatrix} a & 1 &b&2\\ a & a &a&a \\0 & 0 &c&3\\ 0 & 0 &c&c \end{pmatrix}=-acdet\begin{pmatrix} a & 1 &b&2\\ 0 & a-1 &a-b&a-2 \\0 & 0 &c&3\\ 0 & 0 &0&c-3 \end{pmatrix}=-aca(a-1)c(c-3)=-a^{2}(a-1)c^{2}(c-3)$$

MfG

Pizzaboss

Answer 1

Aloha :)

Du hast eine 2x2-Blockmatrix aus 4 Nullen, daher gilt:$$\left|\begin{array}{c}a & 1 & b & 2\\0 & 0 & c & 3\\1 & 1 & 1 & 1\\0 & 0 & 1 & 1\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{c}a & 1 & b & 2\\1 & 1 & 1 & 1\\0 & 0 & c & 3\\0 & 0 & 1 & 1\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{c}a & 1\\1 & 1 \end{array}\right|\cdot\left|\begin{array}{c}c & 3\\1 & 1\end{array}\right|=-(a-1)(c-3)$$

Dein Fehler ist, dass du in der 2-ten Zeile aus den 4 Einsen eine Zeile mit 4 \(a\)s machst, aber dann vor die Determinante den Faktor \(a\) anstatt \(\frac{1}{a}\) schreibst. Dasselbe in der 4-ten Zeile mit den 2 Einsen, die zu \(c\)s erweitert werden. Auch da muss der Faktor \(\frac{1}{c}\) vor die Determinante. Der Rest ist dann richtig weitergerechnet, aber natürlich kommt durch deinen Fehler von oben das falsche Ergebnis heraus.