Aloha :)
Die wollen, dass wir die Gleichung \(M\cdot\vec v=\vec v\) lösen:$$\left(\begin{array}{c}0,5 & 0 & 0\\0,5 & 0,7 & 0,2\\0 & 0,3 & 0,8\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}0\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\y\\z\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{c}0,5 & 0 & 0\\0,5 & 0,7 & 0,2\\0 & 0,3 & 0,8\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}0\\y\\z\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}0\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{c}-0,5 & 0 & 0\\0,5 & -0,3 & 0,2\\0 & 0,3 & -0,2\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}0\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{c}0\\-0,3y+0,2z\\0,3y-0,2z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)$$Wir erhalten 2 äquivalente Gleichungen:$$0,3y-0,2z=0\quad\text{bzw.}\quad-0,3y+0,2z=0$$Zusammen mit der Bedingung \(y+z=1\) heißt das:$$0=0,3y-0,2z=0,3y-0,2(1-y)=0,3y-0,2+0,2y=0,5y-0,2$$$$\Rightarrow\quad y=\frac{2}{5}\quad;\quad z=\frac{3}{5}$$