Tulpenfarbe- Aufgabe zur stochastischen matrix mit unbekanntem Zustandsvektor

Question

Aufgabe:

Die Blüten einer Tulpenart sind entweder rot, rosa oder weiß. Kreuzt man eine rote mit einer ebenfalls roten Tulpe, so entsteht wieder eine rote Tulpe. kreuzt man eine rote mit einer rosa Tulpe, entsteht in 75% der Fälle eine rote und in 25% der Fälle eine rosa Blüte. Kreuzt man eine rote mit einer weißen Blüte so entsteht in je 50% der Fälle eine rote bzw. rosa Blüte.

c) Es sollen 100 rote und 40 rosa Blüten erzeugt werden. Bestimmen Sie alle Möglichkeiten, die zu diesem Ergebnis führen.

Problem/Ansatz:

Marix:

                r     ro        w

M=     r    1    0.75    0.5

         ro   0    0.25    0.5

         w    0    0          0

 r = rot, ro=rosa, w=weiß

der vorgegebene Zustandsvektor ist dann z(100/40/0). die Anzahl der weißen bluten ist zwar nicht angegeben, aber da laut der Matrix keine weißen Blüten entstehen können, ist der letzte wert des Vektors 0.

Mein Ansatz wäre jetzt, dass man M*v=z mit v(x/y/z) rechnet.

wenn ich dann in den GTR eingebe:

1*x+0.75*y+0.5*z=100

0.25*y+0.5*z=40

0=0

kommt eine Fehlermeldung. klar, da die variablen zu viele für die Gleichungsmenge sind.

Kann mir vielleicht jemand helfen?

Vielen lieben Dank im Voraus

Answer 1

GTR ist doch gar nicht nötig.

Löse die 2. Gleichung nach y auf

y = 160 - 2z   ##

und das in die erste einsetzen und nach x auflösen

x = -20 + z     #

Das z ist ja beliebig wählbar, damit es im Sachzusammenhang Sinn

macht ,  darf aber natürlich keine der Anzahlen negativ sein.

Aus # also   z≥ 20 und aus   ## auch z ≤ 80.

Es geht also für jede Anzahl von weissen z mit

20 ≤ z ≤ 80

und x und y dann passend dazu

x = -20 + z  und y = 160 - 2z.

Also z.B.

( 0;120;20)

( 1;118; 21)

etc.   bis

( 60; 0 ; 80 )