Grenzwert eine stochastischen Matrix

Question

Ein magisches Quadrat mit der magischen Zahl m wird dadurch in eine stochastische Matrix S umgewandelt, dass jede Zahl des magischen Quadrates durch m dividiert wird. Nenne eine Vermutung zu diesem Grenzwert: \( \lim\limits_{x\to\infty} \) S^x.

Comments

Also ich denke die Vermutung, dass in der Grenzmatrix jeder Zustand die gleiche Wahrscheinlichkeit erhält, liegt nahe. Zumindest bei einem einfachen magischen Quadrat der Ordnung 3 bestätigt dies Wolframalpha.

Answer 1

Die Matrix \(S\) ist nicht nur stochastisch, sondern doppelt-stochastisch, da sowohl Zeilen- als auch Spaltensumme aufgrund der Eigenschaft des magischen Quadrats 1 betragen. Man kann dann beweisen, wenn \(S\) irreduzibel ist, dass die durch \(S\) charakterisierte Markow-Kette nur gegen die Gleichverteilung als stationäre Verteilung konvergieren kann.

Eine Matrix \(S\) mit nichtnegativen Einträgen ist genau dann irreduzibel, wenn es ein \(n\in \mathbb{N}\) gibt, mit \(S^n>0\). Da auch \(S^2\) nichtnegative Einträge hat, konvergiert die Verteilung also gegen die Gleichverteilung.